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Vollständige Induktion
Schüler Fachschulen, 12. Klassenstufe
Tags: Analysis
 
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anonymous 23:23 Uhr, 13.10.2006  |
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Beweisen sie mit vollständiger Induktion: a)(1/(1*2))+(1/(2*3))+(1/(3*4)+...+(1/((n)*(n+1))=(n)/(n+1) b)1+2+3+4+...+n=(n*(n+1))/(2) c)1^2+2^2+3^2+...+n^2=(n*(n+1)*(2n+1)))/(6) d)1^3+2^3+3^3+...+n^3=((n*(n+1)/(2))^2 e)1*2+2*3+3*4+...+n*(n+1)=(n*(n+1)*(n+2)))/(3) f)1*2*3+2*3*4+...+ n*(n+1)+(n+2)=(n*(n+1)*(n+2)*(n+3)))/(4) g)1/(1*3)+1/(3*5)+1/(5*7)...+(1)/((2n-1)*(2n+1)=(n)/(2n+1) h)1/(1*4)+1/(4*7)+1/(7*109+...+(1)/((3n-2)*(3n+1)=(n)/(3n+1) Es wäre echt super,wenn ihr mir damit helfen könntet,weil ich nciht mal weiss,wo ich anfangen soll. Vielen Dank |
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anonymous 23:43 Uhr, 13.10.2006 |
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Abend. Also mit helfen, meine ich zumindest, dass ich dir das Prinzip gebe und es dir an Hand eines der insgesamt 8 Aufg zeige. Vllt erbarmt sich ein Nachfolger dir die restlichen zu lösen, wobei ich meine dass du es dann selber schaffen solltest. Vollständige Induktion nach n: (IA) der Induktionsanfang: Du startest mit einem Startwert n[0] aus N und zeigst die Gültigkeit der Aussage für dieses n[0]. (IV) die Induktionsvoraussetzung: Hier setzt du vorraus, dass deine Gleichung oder das was du zeigen willst für ein beliebiges aber festes n aus N gilt. [hier ist nichts zu berechnen] (IS) der Induktionsschritt: du gehst von deinem n aus und schließt dann auf n+1 an, was heißt dass du die Aussage die zu beweisen ist für n+1 zeigst mit Hilfe der (IV). Dann gilt nach dem Indukionsprinzip die Gültigkeit für alle n aus N. Na dann, auf ans Werk: b) die GaussSummenFormel: 1+2+3+4+...+n=(n*(n+1))/(2) (IA) n[0]=1 : n[0] = 1 (n[0]*(n[0]+1))/(2) = (1*(1+1))/2 = 2/2 = 1 Also gilt die Gleichheit für n[0]=1 (IV) [...] (IS) n->n+1: 1+2+3+4+...+n+(n+1) = (n*(n+1))/(2) + (n+1) [dies gilt nach der (IV)] (n*(n+1))/(2) + (n+1) = (n*(n+1))/(2) + 2(n+1)/2 = [(n²+n)+2(n+1)]/2 = [n²+3n+2]/2 = [(n+1)(n+2)]/2 = [(n+1)((n+1)+1)] Also gilt die Gleichheit auch für n+1, daraus folgt mit (IP) die Gleichheit für alle n aus N. Viel Erfolg beim Rest mfg |
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anonymous 23:44 Uhr, 13.10.2006 |
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In der letzten Zeile hab ich das /2 vergessen mfg |
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