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Vollständige Induktion

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Tags: Analysis

 
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anonymous

anonymous

19:53 Uhr, 28.10.2006

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Ich muss die folgende Formel durch vollständige Induktion beweisen.
k und n sind natürliche Zahlen daher habe ich den Induktionsanfang n=1 gewählt. So komme ich auf die 2. Formel.
Jetzt mache ich den Induktionsschritt n+1
dabei komme ich auf die dritte Formel wo ich dann nichtmehr weiß, wie ich die umformen soll, um den Satz zu beweisen (irgendwie habe ich den Eindruck ich habe bereits vorher irgendwo einen Denkfehler, weiß aber nicht wo)

Agrh irgendwie mag mich der Formeleditor hier nicht - deswegen die Formeln bitte in der Reihenfolge von unten nach oben lesen (also die nächste Formel ist nicht die 1. Sondern die 3.)




∑ k = 1 n k 2 + ( n + 1 ) = 1 / 6 * n * ( 2 n 2 + 3 n + 1 ) + ( n + 1 ) 2 ∑ 1 = k 1 k 2 = 1 / 6 * 6 ∑ k = 1 n k 2 = 1 / 6 * n * ( ⁢ n + 1 ) * ( 2 n + 1 )
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m-at-he

m-at-he

20:20 Uhr, 28.10.2006

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Hallo,

von der kleinen Formeleditorschwäche mal abgesehen, hast Du nur einen kleinen Fehler gemacht, daß Du in der 3. Formel (die obere!) (n+1) geschrieben hast und nicht (n+1)^2, aber das ist sicher nur ein Tippfehler, und Dir durch das Ausmultiplizieren von (n+1)*(2*n+1) das Leben schwergemacht. Ich mach deshalb die 3. Formel noch mal und dann weiter:

∑ k = 1 n + 1 k 2 = ∑ k = 1 n k 2 ⁢   +   ( n + 1 ) 2       ;       einsetzen ⁢     der ⁢     Induktionsvoraussetzung = 1 6 * n * ( n + 1 ) * ( 2 * n + 1 )   +   ( n + 1 ) 2 = 1 6 * ( n + 1 ) * n * ( 2 * n + 1 )   +   1 6 * ( n + 1 ) * 6 * ( n + 1 ) = 1 6 * ( n + 1 ) * ( n * ( 2 * n + 1 )   +   6 * ( n + 1 ) ) = 1 6 * ( n + 1 ) * ( 2 * n 2 + n   +   6 * n + 6 ) = 1 6 * ( n + 1 ) * ( 2 * n 2 + 7 * n + 6 ) Jetzt gibt es mehrere Möglichkeiten, entweder mal stellt sich Dumm und weiß nicht was herauskommen soll oder man schaut sich mal an, wie denn das Ergebnis aussehen müßte, wenn man statt n mal n+1 einsetzt. Ich gehe mal letzteren Weg. dann stehen dort neben der 1/6 und der (n+1) noch
((n+1)+1)*(2*(n+1)+1)
=(n+2)*(2*n+3)
=(2*n^2+7*n+6)
Das ist ja genau das, was wir brauchen. Da wir nur zusammengefaßt und ausmultipliziert haben, können wir also in unserer letzten Gleichung die (2*n^2+7*n+6) ersetzen durch (n+2)*(2*n+3) und anschließend die Zusammenfassungen rückgängig machen und am Ende steht da:
1/6*(n+1)*((n+1)+1)*(2*(n+1)+1)
Und damit ist die Behauptung bewiesen.
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anonymous

anonymous

14:46 Uhr, 29.10.2006

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Danke sehr für deine ausführliche Lösung die hat mir sehr geholfen (gerade auf die Idee einfach 1/6 * 6 zu dem (n+1)^2 hinzuzufügen um da die rechte Seite und die linke Seite verwusteln zu können war ich nicht gekommen)