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k^2=k*k=m
Universität / Fachhochschule
Tags: Analysis
 
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anonymous 22:24 Uhr, 28.10.2006  |
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könnt ihr mir vielleicht helfen... Aufgabe: Eine natürliche Zahl m heißt Quadratzahl, wenn es eine natürliche Zahl k gibt mit k^2=k*k=m. Zeigen Sie: Für jedes n € N ist 1^3+2^3+...+n^3 eine Quadratzahl. lg david |
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Hallo, Schreib Dir mal die ersten Summen auf: n=1: 1 = 1^2 = (1/2 * 1 * 2)^2 n=2: 9 = 3^2 = (1/2 * 2 * 3)^2 n=3: 36 = 6^2 = (1/2 * 3 * 4)^2 n=4: 100 = 10^2 = (1/2 * 4 * 5)^2 n=5: 225 = 15^2 = (1/2 * 5 * 6)^2 Es wäre also zu beweisen, daß Summe(k=1;n;k^3) = (1/2 * n * (n+1))^2 ist. Einfachster Weg: Vollständige Induktion Induktionsanfang: n=1 Summe(k=1;1;k^3) = 1^3 = 1 (1/2 * 1 * 2)^2 = 1^2 = 1 Induktionsbehauptung: Die Aussagge gilt für n Induktionsbeweis: Summe(k=1;n+1;k^3) = Summe(k=1;n;k^3) + (n+1)^3 = (1/2 * n * (n+1))^2 + (n+1)^3 = 1/4 * n^2 * (n+1)^2 + (n+1)^3 = (n+1)^2 * (1/4*n^2 + (n+1)) = (n+1)^2 * (1/4*n^2 + 1/4*4*n + 1/4*4) = (n+1)^2 * 1/4 * (n^2 + 4*n + 4) = 1/4 * (n+1)^2 * (n+2)^2 = 1/4 * (n+1)^2 * ((n+1) + 1)^2 = (1/2 * (n+1) * ((n+1) + 1))^2 |
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