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Polynome
Schüler Fachschulen, 11. Klassenstufe
Tags: Analysis
 
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anonymous 06:56 Uhr, 13.02.2004  |
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Hallo! Wir schreiben demnächst eine Matheklausur und ich habe noch folgende Frage: Kann mir jemand sagen, wann ein Polynom wenn es gegen -, bzw. + unendlich läuft limf(x)= + unendlich und wann limf(x)= - unendlich ist? Ich weiß, dass es mit dem Vorzeichen und dem Exponenten der Zahl mit dem höchsten Exponenten zusammenhängt... Danke schon mal |
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Wie du sicher weißt, ist ein Polynom P ein Ausdruck der Form wobei n aus IN fest ist. Der Grad des Polynoms ist die größte natürliche Zahl g <=n, für die gilt:sofern ein solcher Koeffizient existiert, also P nicht das Nullpolynom ist. Dem Nullpolynom ordnet man den Grad -1 zu (beacht, dass P den Grad 0 hat, wenn P eine Konstante ist). In natürlicher Weise schreibt man das Polynom stets nur bis zu seinem Grad auf. Um das Verhalten des Polynoms bei zu untersuchen, musst du nur schauen, ob g gerade oder ungerade ist und welches Vorzeichen der zugehörige Koeffizient trägt. Das Polynom P verhält sich nämlich bei x->+oo bzw. x->-oo genauso wie Wir erhalten also folgende Fälle I) P habe den Grad -1 => P ist das Nullpolynom => P ist identisch 0 => P strebt gegen 0 bei x->+oo und x->-oo. II) P habe den Grad 0 => P ist eine konstante Fkt. => P ist identisch mit der Konstanten => P strebt sowohl bei x->+oo als auch bei x->-oo gegen die Konstante III) Der Grad von P sei > 0. a) Ist der Koeffizient < 0, und ist g gerade => Für x->+oo und für x->-oo strebt P gegen -oo. b) Ist der Koeffizient > 0 und ist g gerade => Für x->+oo und für x->-oo strebt P gegen +oo. c) Ist der Koeffizient < 0 und ist g ungerade => 1.) x->+oo => P(x)->-oo 2.) x->-oo => P(x)->+oo d) Ist der Koeffizient > 0 und ist g ungerade => 3.) x->+oo => P(x)->+oo 4.) x->-oo => P(x)->-oo Ich gebe dir hierzu jeweils Beispiele an: zu I) P(x)=0 für alle x aus IR (P ist also das Nullpolynom). => bei x->+oo, x->-oo => P(x)->0 zu II) P(x)=3,7 (beachte: P(x)=(3,7)*x^0, wobei 0^0:=1). bei x->+oo, x->-oo => P(x)->3,7 zu III,a) P(x)=-(1/10)x^8+5x²+3x => 1.) x->+oo => P(x)->-oo 2.) x->-oo => P(x)->-oo zu III,b) P(x)=2x^4+x+3 => Sowohl bei x->+oo als auch bei x->-oo => P(x)->+oo zu III,c) P(x)=-100x³+15 => 1.) x->+oo => P(x)->-oo 2.) x->-oo => P(x)->+oo zu III,d) P(x)=0,0000001x^9-3x^7-700000x^6-(10^40)x²-10^800 => 1.) x->+oo => P(x)->+oo 2.) x->-oo => P(x)->-oo Ich hoffe, dass ich keinen Fehler gemacht habe, kann aber für nichts garantieren. PS: Die Zahlen im letzten Beispiel sind extra so übertrieben, damit du siehst, dass auch die Größe des Koeffizienten nichts ausmacht, sondern nur sein Vorzeichen relevant ist. Viele Grüße Marcel |
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