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Beweis Erwartungswert einer Zufallsgröße

Universität / Fachhochschule

Tags: Binomialverteilung, Erwartungswert, Statistik, Zufallsgröße

Jeyes

19:10 Uhr, 03.11.2006

Hallo Leute. Wir ihr wisst gilt für den Erwartunswert einer binominal verteilten Zufallsgröße $μ = n \cdot p$ Gibt es jemanden, der sich in der Lage sieht, das zu beweisen? Oder der den Beweis irgendwo hat? Ich habe ein wenig gebastelt, aber das hilft mir nicht viel: $μ = E (X) = \sum_{i = 0}^{r} i \cdot (\begin{matrix} r \\ i \end{matrix}) \cdot p^{i} \cdot {(1 - p)}^{r - i} = \sum_{i = 0}^{r} (i \cdot (\begin{matrix} r \\ i \end{matrix}) \cdot p^{i} \cdot \sum_{h = 0}^{r - i} {(- 1)}^{h} (\begin{matrix} r - i \\ h \end{matrix}) \cdot p^{h})$

Ist jemand soo klug, daraus µ=rp zu machen? Mich würds freuen... Gruß

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Bernoulli-Experimente

flhuber

14:18 Uhr, 07.11.2006

hoi! also der trick liegt darin den binomialkoeffizienten N über n geschickt in (N-1) über (n-1) umzuschreiben. anschließend ist eine indextransformation vorzunehmen und zu guter letzt ist noch der binomische lehrsatz anzuwenden. q=1-p

$E (x) = Σ_{n = 0}^{N} n (\begin{matrix} N \\ n \end{matrix}) p^{n} q^{N - n}$

$also : n (\begin{matrix} N \\ n \end{matrix}) = n \frac{N!}{n! (N - n)!} = \frac{N * (N - 1)!}{(n - 1)! (N - n)!} = N (\begin{matrix} N - 1 \\ n - 1 \end{matrix})$

$folgt für E (x) = Σ_{n = 1}^{N} N (\begin{matrix} N - 1 \\ n - 1 \end{matrix}) p^{n} q^{N - n}$

$trafo : i = n - 1, M = N - 1 bzw . n = i + 1, N = M + 1$

$E (x) = N * Σ_{i = 0}^{M + 1} (\begin{matrix} M \\ i \end{matrix}) p^{i + 1} q^{M + 1 - (i + 1)} =$

$= Np * Σ_{i = 0}^{M + 1} (\begin{matrix} M \\ i \end{matrix}) p^{i} q^{M - i}$

$mit binom . LS :$

$E (x) = Np * {(p + q)}^{M + 1} = Np * {(p + 1 - p)}^{N} = Np$

laufindex n=0 kann sofort in n=1 umgeschrieben werden da 0ter summand=0 für n=0

Jeyes

21:52 Uhr, 07.11.2006

Supi.

Vielen Dank!

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