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Vollständige Induktion

Universität / Fachhochschule

Tags: Algebra

anonymous

18:09 Uhr, 04.11.2006

Also ich habe folgendes Problem dies zu beweisen. Für n=1 ist alles noch gut aber für n+1 komm ich nicht weiter. Dann habe ich nähmlich zwei Probleme mit 2^(2n) und 2n über n um die aufzulösen.

Wäre wirklich super wenn einer weiter helfen könnte

\prod_{i = 1}^{n} \frac{2 i - i}{2 i} = \frac{1}{2^{2 n}} (\begin{matrix} 2 n \\ n \end{matrix})

pwmeyer aktiv_icon

11:43 Uhr, 05.11.2006

Hallo,

mit Deiner Frage stimmt etwas nicht. In dem Ausdruck hinter dem Produktzeichen steht im Zähler 2i-i=i; dann kann man i kürzen und erhält das Produkt über 1/2, also 1/(2^n)?

Gruß PWM

anonymous

15:18 Uhr, 05.11.2006

Der Zähler sollte 2i-1 heißen

Marian

15:40 Uhr, 05.11.2006

Hallo!
Der Induktionsanfang für n=1 ist klar. Gelte unsere Aussge für alle natürliche Zahlen N, d.h. es sei

\prod_{i = 1}^{N} \frac{2 i - 1}{2 i} = \frac{1}{2^{2 N}} (\begin{matrix} 2 N \\ N \end{matrix}) .

Zu beweisen ist, dass die Aussage auch für n=N+1 gilt. Aber das ist trivial, denn

\prod_{i = 1}^{N + 1} \frac{2 i - 1}{2 i} = \frac{2 (n + 1) - 1}{2 (n + 1)} \cdot \prod_{i = 1}^{N} \frac{2 i - 1}{2 i} = \frac{2 N + 1}{2 (N + 1)} \cdot \frac{1}{2^{2 N}} (\begin{matrix} 2 N \\ N \end{matrix}) = \frac{1}{2^{2 (N + 1)}} (\begin{matrix} 2 (N + 1) \\ N + 1 \end{matrix}),

weil

(\begin{matrix} 2 (N + 1) \\ N + 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 N + 2 \\ N + 1 \end{matrix}) = \frac{(2 N + 2) (2 N + 1) \cdot (2 N)!}{{(N + 1)}^{2} \cdot {(N!)}^{2}} = \frac{2 (2 N + 1)}{N + 1} \cdot (\begin{matrix} 2 N \\ N \end{matrix}) .

mfg Marian

anonymous

18:47 Uhr, 05.11.2006

Danke erstmal aber warum folgt aus

und warum bedeutet das

\frac{2 (2 n {+ 1)}^{}}{n + 1} . (\begin{matrix} 2 n \\ n \end{matrix}) = \frac{2 i - 1}{2 i}

\frac{(2 n + 2) (2 n + 1) (2 n)!}{(n + 1) {(n!)}^{2}} = \frac{2 (2 n + 1)}{n + 1} . (\begin{matrix} 2 n \\ n \end{matrix})

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