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Abitur 2010 Mathematik GK Analytische Geometrie V
In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte und sowie die Geraden und , gegeben.
Teilaufgabe 1a (8 BE)
Zeigen Sie, dass die Geraden und echt parallel zueinander sind. Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene , die die Geraden und enthält, in Normalenform.
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Teilaufgabe 1b (6 BE)
Bestimmen Sie die Koordinaten des Fußpunktes des Lotes vom Punkt auf die Ebene sowie den Abstand des Punktes von der Ebene .
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Teilaufgabe 1c (5 BE)
Bestimmen Sie die Größe der Innenwinkel des Dreiecks .
Teilaufgabe 1d (5 BE)
Berechnen Sie den Abstand der Geraden und .
[Ergebnis: ]
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Lässt man das Dreieck um die Achse rotieren, so entsteht als Rotationskörper ein Kegel .
Teilaufgabe 2a (4 BE)
Berechnen Sie das Volumen von .
Teilaufgabe 2b (3 BE)
Untersuchen Sie, ob die Gerade mit dem Kegel gemeinsame Punkte besitzt.
Teilaufgabe 2c (5 BE)
Eine Ebene , die parallel zur Ebene liegt, zerlegt den Kegel in einen Kegel und einen Kegelstumpf. Die Höhe des Kegelstumpfs beträgt ein Drittel der Höhe des Gesamtkegels . Berechnen Sie den prozentualen Anteil des Volumens des Kegelstumpfs am Volumen des Kegels .
Teilaufgabe 2d (4 BE)
Gegeben ist ein Punkt , dessen Abstand von der Ebene kleiner als 12 ist. Es soll entschieden werden, ob der Punkt auf der Mantelfläche des Kegels liegt. Beschreiben Sie hierfür ein mathematisches Vorgehen unter der Annahme, dass die Koordinaten von bekannt sind.
Lösungen zu:
Tipp:
Arbeite frühzeitig mit der Merkhilfe Mathematik,
die als Hilfsmittel im Abitur zugelassen ist.
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