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$\sigma$-Additivität bei Zähldichten

Universität / Fachhochschule

Wahrscheinlichkeitsmaß

Tags: Additivität, Wahrscheinlichkeitsmaß, Zähldichte

Chaostheorie aktiv_icon

08:36 Uhr, 01.11.2023

Ich habe folgende Situation:

Ω

ist eine abzählbare Menge und

p : Ω \to [0, 1]

eine Funktion mit

\sum_{ω \in Ω} p (ω) = 1

. Definiere eine Abbildung durch

ℙ : P (Ω) \to [0, 1], ℙ (A) := \sum_{ω \in A} p (ω)

,

wobei

P (Ω)

die Potenzmenge von

Ω

bezeichnet. Die Abbildung ist wegen dem Umordnungssatz für absolut konvergente Reihen wohldefiniert. Wir wollen zeigen, dass es sich bei

ℙ

um ein Wahrscheinlichkeitsmaß handelt. Beim Nachweis der

σ

-Additivität wird dabei folgender Schritt verwendet: (

A_{1}, A_{2}, . . . \subseteq Ω

sind paarweise disjunkte Mengen)

\sum_{ω \in \cup_{k = 1}^{\infty} A_{k}} p (ω) = \sum_{k = 1}^{\infty} \sum_{ω \in A_{k}} p (ω) .

Welches analytische Resultat steht bei dieer Umformung im Hintergrund? Der Umordnungssatz alleine kann es ja nicht sein, denn falls beispielsweise

A_{1}

unendlich ist, gibt es ja keine Umordnung von

Ω

, die zuerst alle Elemente aus

A_{1}

abzählt, denn dafür wären ja schon unendlich viele Elemente notwendig.

Vielen Dank für jegliche Hilfe

HAL9000

14:28 Uhr, 01.11.2023

Hmm, komisch, nun ist der Thread aufrufbar - so ca. 9 Uhr ging es nicht. Hat wohl jemand repariert (ist nun auch ein anderer HTML-Link) - ich hatte dir diesbezüglich eine Nachricht geschickt...

Als erstes stellen wir fest, dass Funktion

ℙ

monoton ist, d.h. für

U \subseteq V

gilt

ℙ (U) \leq ℙ (V)

, das werden wir einige male nutzen.

Wir können o.B.d.A.

Ω = N

betrachten (ansonsten schalten wir eine bijektive Beziehung zwischen beide). Sei nun

E_{n} = {1, 2, \dots, n}

. Dann haben wir gemäß Definition

lim_{n \to \infty} ℙ (E_{n}) = 1

und können insbesondere für jedes

ε > 0

ein

n_{0}

angeben mit

ℙ (E_{n}) > 1 - ε

für alle

n \geq n_{0}

.

Betrachten wir nun

B := ⋃_{k = 1}^{\infty} A_{k}

sowie

B_{n} := B \cap E_{n} = ⋃_{k = 1}^{\infty} (A_{k} \cap E_{n})

und darauf Abbildung

ℙ

angewandt: Aus der Endlichkeit von

B_{n}

sowie der Disjunktheit der Mengen

(A_{k} \cap E_{n})

folgt, dass nur endlich viele der letzteren Mengen nichtleer sind. Eine Umordnung dieser endlichen Summe ist also kein Problem, und es folgt

ℙ ((⋃_{k = 1}^{\infty} A_{k}) \cap E_{n}) = \sum_{k = 1}^{\infty} ℙ (A_{k} \cap E_{n}) \leq \sum_{k = 1}^{\infty} ℙ (A_{k})

Außerdem ist für

n \geq n_{0}

ℙ (⋃_{k = 1}^{\infty} A_{k}) = ℙ ((⋃_{k = 1}^{\infty} A_{k}) \cap E_{n}) + ℙ ((⋃_{k = 1}^{\infty} A_{k}) \cap E_{n}^{c})

\leq ℙ ((⋃_{k = 1}^{\infty} A_{k}) \cap E_{n}) + ℙ (E_{n}^{c}) < ℙ ((⋃_{k = 1}^{\infty} A_{k}) \cap E_{n}) + ε

,

ingesamt also

ℙ (⋃_{k = 1}^{\infty} A_{k}) < \sum_{k = 1}^{\infty} ℙ (A_{k}) + ε

.

Das gilt für alle

ε > 0

, und damit im Grenzübergang

ℙ (⋃_{k = 1}^{\infty} A_{k}) \leq \sum_{k = 1}^{\infty} ℙ (A_{k})

.

Die andere Richtung: Für alle

n

gilt

ℙ (⋃_{k = 1}^{\infty} A_{k}) \geq ℙ (⋃_{k = 1}^{n} A_{k}) \overset{!}{=} \sum_{k = 1}^{n} ℙ (A_{k})

Das rechts ist bzgl.

n

eine monoton wachsende, durch die linke Seite der Ungleichung nach oben beschränkte Folge, die damit konvergiert gegen einen Grenzwert, der ebenfalls unter dieser Schranke liegt, also ist

ℙ (⋃_{k = 1}^{\infty} A_{k}) \geq \sum_{k = 1}^{\infty} ℙ (A_{k})

Jetzt könntest du allenfalls noch eine Begründung für

\overset{!}{=}

einfordern, aber die überlasse ich dir mal selbst. ;-)

Chaostheorie aktiv_icon

15:18 Uhr, 01.11.2023

Vielen Dank für die ausführliche Antwort. Die Frage ist damit geklärt.

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