0,1 Periode in Dezimalbruch via Geom. Reihe

Hallo, Ich bin neu hier und möchte gleich mal zugeben das ich in dem was ich hier tue nicht wirklich gut bin. Ich bin leider schon zu lange aus der Schule raus und muss druch diese Mathe Prüfung. Ich hoffe hier Hilfe zu bekommen.

Stehe auch schon vor der ersten Aufgabe wo ich Probleme habe, da ich nicht so wirklich herausfinden kann welche "Gesetze" hier angewendet worden sind. Die Aufgabe ansich ist relativ banal.

0.1 Periode soll mithilfe der Geometrischen Reihe in ein Dezimalbruch umgewandelt werden. Mein erster Schritt sieht so aus:

${\displaystyle 0,\overline{1}=0,\mathrm{1111111....}=1/10+1/100+1/1000\mathrm{.....}}$

Dann wird die Reihe aufgestellt:

${\displaystyle \sum _{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=1}^{\mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}({\frac{1}{10})}^{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

Der Nächste Schritt:

${\displaystyle \sum _{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0}^{\mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}(\frac{1}{10}{)}^{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}-1}$ (ist hier das k=1 unter dem Summenzeichen nur rausgewandert ?)

Aufgelöst sieht es dann so aus:

${\displaystyle \frac{1}{1-\frac{1}{10}}-1}$

Hier an dieser Stelle bräuchte ich dann mal Aufklärung. Ist die das Quotientenkriterium angewendet worden ? Wie würden denn allerdings die zwischenschritte aussehen um darauf zu kommen...

Bitte um Hilfe

Mfg

"Da ist ehre das <nobr style=" border: 0px; padding: 0px; margin: 0px; max-width: none; max-height: none; vertical-align: 0px; line-height: normal; text-decoration: none; white-space: nowrap;">k</nobr><nobr style=" border: 0px; padding: 0px; margin: 0px; max-width: none; max-height: none; vertical-align: 0px; line-height: normal; text-decoration: none; white-space: nowrap;">=0</nobr> reingewandert! Und wenn man die Summe, die durch das Summenzeichen repräsentiert wird, um einen Summanden ergänzt, dann muss man, damit am Ende immer noch das selbe rauskommt, diesen Summanden wieder abziehen. Das kann man übrigends auch selbst herausfinden, indem man sich einfach mal von beiden Summen die ersten zwei/drei Summanden aufschreibt! "

Unter welchem Stichwort kann ich das in der Literatur nachschlagen ?

Den Rest hab ich anscheinend jetzt kapiert.

anscheinend gilt:

$$\begin{gathered} {\displaystyle \\ \sum _{\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0}^{\mathrm{\infty <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{}_{\mathrm{q<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>} \\ \frac{1}{1-\frac{1}{10}}-1=\frac{1}{\frac{9}{10}}-1=\frac{10}{9}-1=\frac{1}{9}} \end{gathered}$$

Danach ist es ja nur einsetzen..... Wenn man es weiss...