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(0,1] -> R: x-> sin(1/x)

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Stetigkeit

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sabsi

09:00 Uhr, 15.04.2024

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Hey,

Ich soll untersuchen ob die Funktion

f : (0, 1] \to R : x \mapsto s i n (\frac{1}{x})

gleichmäßig stetig ist.

meine Idee: Also ich bin mir ziemlich sicher dass die Funktion in 0 nicht stetig wäre, was ich auch mit der Folge

x_{k} = \frac{1}{k π}

zeigen könnte.
ABER 0 ist ja hier nicht in der Definitionsmenge... Ist die Funktion nun also stetig? und sogar glm stetig?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Nachhilfe in Mathematik

Antwort

HAL9000

09:19 Uhr, 15.04.2024

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Was heißt "gleichmäßig stetig" auf

D

? Nehmen wir die auch in Wiki nachlesbare Definition

\forall ε > 0 \exists δ > 0 \forall x, x_{0} \in D : ∣ x - x_{0} ∣ < δ \Rightarrow ∣ f (x) - f (x_{0}) ∣ < ε

.

Das kann man hier in der Nullumgebung leicht widerlegen: Wählen wir für

k \geq 1

die beiden Werte

x = \frac{2}{(2 k + \frac{1}{2}) π}

sowie

x = \frac{2}{(2 k - \frac{1}{2}) π}

, dann ist

∣ f (x) - f (x_{0}) ∣ = 1 - (- 1) = 2

,

∣ x - x_{0} ∣ = \frac{2}{(2 k - \frac{1}{2}) π} - \frac{2}{(2 k + \frac{1}{2}) π} = \frac{2}{(4 k^{2} - \frac{1}{4}) π} . (*)

Wählen wir also

ε = 2

, dann sehen wir, dass wir für alle

δ > 0

laut (*) ein

k

finden mit

∣ x - x_{0} ∣ < δ

und

∣ f (x) - f (x_{0}) ∣ \geq ε

D.h. die Funktion

g

ist auf ihrer Definitionsmenge

(0, 1]

nicht gleichmäßig stetig. Aber sie ist dort zumindest stetig - warum?

Antwort

Nick76

Nick76 aktiv_icon

13:17 Uhr, 15.04.2024

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Wieso steht den bei den gewählten Werten für

x

eine 2 im Zähler?
Für

x = \frac{1}{(2 \cdot k + \frac{1}{2}) \cdot π}

gilt doch schon

f (x) = sin (\frac{1}{x}) = sin ((2 \cdot k + \frac{1}{2}) \cdot π) = 1

für alle

k \geq 1

Analog für

x_{0} = \frac{1}{(2 \cdot k - \frac{1}{2}) \cdot π}

Antwort

HAL9000

13:25 Uhr, 15.04.2024

Antworten

Richtig, da ist bei mir was durcheinandergeraten - es gehört eine 1 in den Zähler (war wohl im Gedanken bei

(4 k \pm 1) \cdot \frac{π}{2}

und hab das falsch aufgedröselt...)

P.S.: Kann sich michaL trösten, dass ich auch hier und da solche Böcke schieße. :-)

Antwort

KartoffelKäfer

KartoffelKäfer aktiv_icon

14:54 Uhr, 15.04.2024

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Für

ε := \frac{1}{2}

und

0 < δ < 1

beliebig wähle

k > \frac{1}{2 δ π},

dann gilt für

a := \frac{1}{2 k π}, b := \frac{1}{2 k π + \frac{π}{2}},

dass

a, b \in (0,1]

sowie

| a - b | = \frac{1}{2 k π} - \frac{1}{2 k π + \frac{π}{2}} < \frac{1}{2 k π} < δ

und

| sin (\frac{1}{a}) - sin (\frac{1}{b}) | = 1 > ε

.

Also ist

f

nicht gleichmäßig stetig.

Frage beantwortet

sabsi

08:46 Uhr, 17.04.2024

Antworten

Danke!

Frage beantwortet

sabsi

08:46 Uhr, 17.04.2024

Antworten

Danke

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