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(1-2x)^8 in binomialreihe entwickeln? a,b,c bestim

Universität / Fachhochschule

Binomialkoeffizienten

Tags: Binomialkoeffizient

underworld000 aktiv_icon

11:51 Uhr, 25.03.2015

Hey, soll

{(1 - 2 x)}^{8}

in ne binomialreihe bestimmen und

a, b, c

bestimmen, also zahlen davon.

Erst macht man doch 8 über null mal

1^{8} \cdot {(1 - 2 x)}^{0} + 8

über 1*1^7*(-2x)1.....oder?! Und wie bestimmt man

a, b, c,

man hat doch immer

n

x?!

Auf ne schnelle antwort bin ich sehr dankbar!!

Lg

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

Bummerang

11:54 Uhr, 25.03.2015

Hallo,

man kann mit etwas Fantasie erahnen, was gesucht ist, aber auf Grund vager Annahmen verschwende ich meine Zeit nicht und viele andere auch nicht! Also vollständige Original-Aufgabenstellung posten!

underworld000 aktiv_icon

12:11 Uhr, 25.03.2015

Der term

{(1 - 8 x)}^{8}

lässt sich in ne binomialreihe entwickeln, wobei

a, b, c

konstanten sind. 1ax+Bx^2+cx^3...
Achreibe die entwicklung bis zur dritten potenz von

x

auf, und bestimme

a, b, c,

mehr steht da NICHT.

Bummerang

12:26 Uhr, 25.03.2015

Hallo,

da steht auf alle Fälle schon mal mehr als vorher, nämlich nichts. Allerdings wundert mich die Art der Bezeichnung

(\in

meiner Ahnung wären

a, b

und

c

für andere Werte gestanden, gut dass ich das nicht gemacht habe): So wie es jetzt hier steht ist a der Koeffizient des linearen Gliedes,

b

der Koeffizient des quadratischen Gliedes und

c

der Koeffizient des kubischen Gliedes. Jetzt hast Du sicher schon mal die Formel für die Ermittlung von n-ten Potenzen eines Binoms gesehen:

{(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} [(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) \cdot a^{k} \cdot b^{(n - k)}]

Jetzt hast Du gegeben:

{(1 - 2 \cdot x)}^{8}

D . h

n = 8, a = 1, b = - 2 \cdot x

Das lineare Glied ergibt sich bei

{(- 2 \cdot x)}^{1}, d . h

n - k = 1 \Rightarrow 8 - k = 1 \Rightarrow k = 7

Das Glied für

n = 8

und

k = 7

ist:

(\begin{matrix} 8 \\ 7 \end{matrix}) \cdot a^{7} \cdot b^{(8 - 7)} = (\begin{matrix} 8 \\ 7 \end{matrix}) \cdot a^{7} \cdot b^{1}

setzen wir a und

b

noch ein, ergibt sich:

(\begin{matrix} 8 \\ 7 \end{matrix}) \cdot 1^{7} \cdot {(- 2 \cdot x)}^{1} = (\begin{matrix} 8 \\ 7 \end{matrix}) \cdot 1 \cdot (- 2 \cdot x) = - 2 \cdot (\begin{matrix} 8 \\ 7 \end{matrix}) \cdot x

Der Koeffizient des linearen Gliedes ist

- 2 \cdot (\begin{matrix} 8 \\ 7 \end{matrix}) = - 2 \cdot \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7} = - 2 \cdot \frac{8}{1} = - 16

Demzufolge ist

a = - 16

Das selbe nun mit

b

und

c :

Das quadratische/kubische Glied ergibt sich bei

{(- 2 \cdot x)}^{2}

bzw.

{(- 2 \cdot x)}^{3}, d . h

n - k = 2 \Rightarrow . .

\Rightarrow k = . .

. bzw.

n - k = 3 \Rightarrow . .

\Rightarrow k = . .

.

Das Glied für

n = 8

und

k = . .

. ist:

(\begin{matrix} 8 \\ ... \end{matrix}) \cdot a^{...} \cdot b^{(8 - ...)} = (\begin{matrix} 8 \\ ... \end{matrix}) \cdot a^{...} \cdot b^{...}

setzen wir a und

b

noch ein, ergibt sich:

(\begin{matrix} 8 \\ ... \end{matrix}) \cdot 1^{...} \cdot {(- 2 \cdot x)}^{...} = (\begin{matrix} 8 \\ ... \end{matrix}) \cdot 1 \cdot {(- 2)}^{...} \cdot x^{...} = . .

.

Der Koeffizient des quadratischen/kubischen Gliedes Gliedes ist

{(- 2)}^{...} \cdot (\begin{matrix} 8 \\ ... \end{matrix}) = (...) \cdot \frac{8 \cdot ...}{1 \cdot ...} = (...) \cdot (...) = . .

.

Demzufolge ist

b = . .

. bzw.

c = . .

.

EDIT:

Hätte ich fast überlesen:

"Achreibe die entwicklung bis zur dritten potenz von

x

auf,..."

Das ist dann:

\sum_{k = 5}^{8} [(\begin{matrix} 8 \\ k \end{matrix}) \cdot 1^{k} \cdot {(- 2 \cdot x)}^{(8 - k)}]

= (\begin{matrix} 8 \\ 5 \end{matrix}) \cdot 1^{5} \cdot {(- 2 \cdot x)}^{(8 - 5)} + (\begin{matrix} 8 \\ 6 \end{matrix}) \cdot 1^{6} \cdot {(- 2 \cdot x)}^{(8 - 6)} + (\begin{matrix} 8 \\ 7 \end{matrix}) \cdot 1^{7} \cdot {(- 2 \cdot 7)}^{(8 - 7)} + (\begin{matrix} 8 \\ 8 \end{matrix}) \cdot 1^{8} \cdot {(- 2 \cdot x)}^{(8 - 8)}

Und die wären einfach zu berechnen und dann kann man auch

a, b

und

c

auch einfach ablesen...

rundblick aktiv_icon

13:39 Uhr, 25.03.2015

"
"Schreibe die entwicklung bis zur dritten potenz von

x

auf,..."

{(1 - 2 x)}^{8} = 256 \cdot {(\frac{1}{2} - x)}^{8} =

256 \cdot [{(\frac{1}{2})}^{8} - (\begin{matrix} 8 \\ 1 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{2})}^{7} \cdot x + (\begin{matrix} 8 \\ 2 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{2})}^{6} \cdot x^{2} - (\begin{matrix} 8 \\ 3 \end{matrix}) \cdot {(\frac{1}{2})}^{5} \cdot x^{3} \pm ... . + x^{8}]

\Rightarrow

{(1 - 2 x)}^{8} = 1 - 16 \cdot x + 112 \cdot x^{2} -

x^{3} + - ... ... ... ... ... ... . .

+ 256 \cdot x^{8}

schau mal, ob das stimmt

. .

.
..und wie heisst die Vorzahl von

x^{3}

?

.

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