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1. Ergänzungssatz

Universität / Fachhochschule

Primzahlen

Teilbarkeit

Tags: Primzahl, Teilbarkeit

 
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18:48 Uhr, 18.05.2020

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Guten Tag,

folgende Aufgabe gilt es zu lösen:

Schliesse aus dem 1. Ergänzungssatz, dass unendlich viele Primzahlen
der Form 4k+1 existieren. (Hinweis: angenommen N=p1···ps
wäre das Produkt aller Primzahlen ≡ 1 mod 4, so hätte (2N)2+1 nur
Primteiler ≡ 3 mod 4 ...)

Der erste Ergänzungssatz lautet folgendermassen:

Sei p≠2 prim. Dann gilt:
(-1p)=1⇔p≡1(mod4), wobei (ab) das Legendre Symbol ist.

Zunächst habe ich angenommen, dass p≡1(mod4), dann wäre (-1p)=1
⇒(-1)(p-1)/2≡1modp
⇒(p-1)/2 ist gerade
⇒p=4k+1(k∈ℤ)

Dann gilt es zu zeigen, dass es unendlich viele Primzahlen ≡1(mod4) gibt, wobei man den Hinweis benutzen kann. Dort liegt aber das Problem. Ich schätze die Aussage aus dem Hinweis gilt es zuerst zu beweisen, ich habe also folgendes versucht:

Sei der Primteiler q, man hat q∣((2N)2+1)⇒∃k∈ℤ:qk=(2N)2+1
Des Weiteren gilt (2N)2+1≡1mod4. Wenn man beide Seiten durch k teilt dann erhält man q≡1/k mod4. Wenn k=-1 ist, stimmt die Aussage, aber wenn k=1 ist, dann nicht. Warum kann k nicht 1 sein?

Wie kann ich nun den Hinweis benutzen um die Aufgabe zu lösen?


MfG,

Noah
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