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1>=cos(xy)+x^2+y^2

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Funktionen

Tags: Differentiation, Funktion

 
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sabsi

sabsi

09:35 Uhr, 23.04.2024

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Ich soll folgende Ungleichung beweisen:

1<=cos(xy)+x2+y2 für alle x,y∈R

------

für alle x>=1 und y>=1 ist die aussage trivial

aber wie kann ich das allgemein beweisen...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
calc007

calc007

10:13 Uhr, 23.04.2024

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(Du kannst sehr leicht das Gegenteil durch ein Gegenbeispiel beweisen...)

Upps, entschuldigung, hatte einen Knoten im Hirn.
Ich ziehe meinen Einwand zurück.
Antwort
HAL9000

HAL9000

10:20 Uhr, 23.04.2024

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Gemäß Mittelwertsatz für f(z)=-cos(z) sowie z>0 gilt, dass es ein ζ gibt mit 0<ζ<z sowie

f(z)-f(0)=z⋅f´(ζ)

1-cos(z)=z⋅sin(ζ)≤z, letzteres wegen sin(ζ)≤1.

Es gilt somit 1≤cos(z)+z für alle z≥0 (der Fall z=0 per Einzelüberprüfung). Und das wendet man nun für z=∣xy∣ an:

1≤cos(∣xy∣)+∣xy∣≤cos(xy)+∣xy∣+12(∣x∣-∣y∣)2=cos(xy)+x2+y22.

Das ist sogar eine noch etwas stärkere Aussage als gefordert.


EDIT: 1≤cos(z)+z für z≥0 kann man auch anders nachweisen, z.B. durch die Monotonie der Funktion g(z)=cos(z)+z, welche durch g´(z)=-sin(z)+1≥0 gesichert ist.
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