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Lehrer

Tags: Komplexe Zahlen

HermannH aktiv_icon

18:44 Uhr, 10.04.2014

Was ist

1^{i}

?
Einerseits:

1^{i} = e^{i \cdot ln (1)} = e^{0} = 1

Andererseits:

1 = e^{2 \cdot π \cdot i} \Rightarrow 1^{i} = {(e^{2 \cdot π \cdot i})}^{i} = e^{2 \cdot π \cdot i \cdot i} = e^{- 2 \cdot π}

= \frac{1}{e^{2 \cdot π}} = 0.00867 . .

. .
Was ist bei meiner zweiten Rechnung falsch?

Vielen Dank für Hilfen!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

19:22 Uhr, 10.04.2014

Hallo,

die komplexe exp-Funktion ist

2 \cdot π \cdot i -

periodisch. Deshalb besitzt sie keine globale Umkehrfunktion. Die Logarthmus-Funktion lässt sich also nicht eindeutig definieren, es gibt abzählbar viele Zeige:

ln (z) = ln (| z |) + 2 \cdot π \cdot k \cdot i

mit

k \in ℤ

. Demensprechend lässt sich

w^{z}

ℂ

nicht eindeutig definieren. Einschlägige Gesetze gelten daher nicht.

In Deinem Fall ist zwar für einen Zweig

1^{i} = e x p (i \cdot ln (1))

für einen anderen eben

1^{i} = e x p [i \cdot (ln (1) + 2 \cdot π \cdot i)] = e x p (- 2 \cdot π)

.

Gruß pwm

HermannH aktiv_icon

12:57 Uhr, 12.04.2014

Danke für die rasche Antwort und viele osterliche Grüße!
Hermann

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