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({-1,1}, *) auf Gruppe untersuchen

Universität / Fachhochschule

Gruppen

Tags: Gruppen, Menge, Verknüpfung

cyberpferd aktiv_icon

12:29 Uhr, 13.12.2017

Die Aufgabe steht eigentlich schon im Titel. Ich soll die Menge

{- 1,1}

mit der Verknüpfung Multiplikation auf eine Gruppe untersuchen. Ich bin mir aber noch mit der Schreibweise ein wenig unsicher.

Für eine Gruppe muss ja gelten, dass die Menge mit der Verknüpfung assoziativ ist, ein neutrales Element besitzt und es eine Inverse gibt, die in der Menge vorhanden ist.

Meine Lösung ist:
Die Assoziativität ist gegeben, da:

a \cdot (b \cdot c) = (a \cdot b) \cdot c

mit

c = (a \cdot b) (z . B

c = (- 1 \cdot 1))

Das neutrale Element 1 existiert, da:

a \cdot 1 = a, 1

ist Element der Menge

Es gibt auch eine Inverse, da:

a \cdot a^{- 1} = 1

ist und

a^{- 1}

Element der Menge

{- 1,1}

ist.

\to

Die Menge ist eine Gruppe

Außerdem handelt es sich um eine abelsche Gruppe, da:

a \cdot b = b \cdot a

gilt.

Wäre diese Lösung akzeptabel oder habe ich noch etwas vergessen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

mihisu aktiv_icon

15:24 Uhr, 13.12.2017

Insbesondere bei solch grundlegenden Übungsaufgaben, sollte man ganz genau/asuführlich argumentieren.

\\\\

Zur Assoziativität:

Da hast du geschrieben "mit

c = (a \cdot b)

". Du musst dies jedoch für alle

a, b, c \in {- 1, 1}

schreiben. Was ist beispielsweise mit dem Fall

a = b = 1

und

c = - 1,

bei dem

c \neq a \cdot b

ist?

Entweder du rechnest alle

2^{3} = 8

Fälle durch, oder du verweist darauf, dass die Multiplikation ganzer Zahlen bakanntermaßen assoziativ ist.

Die einzelnen Fälle:

((- 1) \cdot (- 1)) \cdot (- 1) = 1 \cdot (- 1) = - 1 = (- 1) \cdot 1 = (- 1) \cdot ((- 1) \cdot (- 1))

((- 1) \cdot (- 1)) \cdot 1 = 1 \cdot 1 = 1 = (- 1) \cdot (- 1) = (- 1) \cdot ((- 1) \cdot 1)

((- 1) \cdot 1) \cdot (- 1) = (- 1) \cdot (- 1) = 1 = (- 1) \cdot (- 1) = (- 1) \cdot (1 \cdot (- 1))

((- 1) \cdot 1) \cdot 1 = (- 1) \cdot 1 = (- 1) \cdot (1 \cdot 1) = (- 1) \cdot (1 \cdot 1)

(1 \cdot (- 1)) \cdot (- 1) = (- 1) \cdot (- 1) = 1 = 1 \cdot 1 = 1 \cdot ((- 1) \cdot (- 1))

(1 \cdot (- 1)) \cdot 1 = (- 1) \cdot 1 = - 1 = 1 \cdot (- 1) = 1 \cdot ((- 1) \cdot 1)

(1 \cdot 1) \cdot (- 1) = 1 \cdot (- 1) = 1 \cdot (1 \cdot (- 1))

(1 \cdot 1) \cdot 1 = 1 \cdot 1 = 1 \cdot (1 \cdot 1)

\\\\

1 ist neutrales Element. Das ist richtig. Jedoch braucht man dafür nicht nur

a \cdot 1 = a

sondern auch

1 \cdot a = a

für alle

a \in {- 1, 1}

. Jedoch ist offensichtlich auch

1 \cdot a

für alle

a \in {- 1, 1}

.

Gegebenenfalls kann man aber auch darauf verweisen, dass die Multiplikation kommutativ ist, so dass wegen

a \cdot 1 = a

jeweils auch

1 \cdot a = 1

ist.

\\\\

Du hast behauptet es gibt zu jedem Element a ein inverses Element

a^{- 1}

. Es wäre noch gut, wenn du schreibst, wie dieses konkret aussieht, um deine Behauptung zu belegen.

Ich könnte beispielsweise auch einfach schreiben, dass es zu jedem

a \in ℤ

ein inverses Element

a^{- 1}

mit

a \cdot a^{- 1} = 1

gibt. Dies ist jedoch nur eine Behauptung (sogar eine falsche Behauptung), aber kein Beweis.

Außerdem fehlt dir, dass jeweils auch

a^{- 1} \cdot a = 1

sein muss. (Was man evtl. wieder deshalb vernachlässigen kann, da die Multiplikation kommutativ ist.)

Besser:

Zu jedem Element

a \in {- 1, 1}

gibt es ein Element

a^{- 1} \in {- 1, 1}

mit

a \cdot a^{- 1} = 1 = a^{- 1} \cdot a

.
Wegen

(- 1) \cdot (- 1) = 1

und

(- 1) \cdot (- 1) = 1

findet man

{(- 1)}^{- 1} = - 1

und

1^{- 1} = 1

als inverse Elemente.

\\\\

Bei

a \cdot b = b \cdot a

fehlt einerseits, wie an einigen Stellen vorher auch, was a und

b

sein sollen.

Statt einfach nur

a \cdot b = b \cdot a

zu schreiben, wäre besser:

Für alle

a, b \in {- 1, 1}

ist

a \cdot b = b \cdot a

.

Begründung: Die Multiplikation ganzer Zahlen ist bekanntermaßen kommuatativ. Ansonsten kann man auch einzeln nachrechnen

...

1 \cdot 1 = 1 \cdot 1

1 \cdot (- 1) = - 1 = (- 1) \cdot 1

(- 1) \cdot 1 = - 1 = 1 \cdot (- 1)

(- 1) \cdot (- 1) = (- 1) \cdot (- 1)

cyberpferd aktiv_icon

17:53 Uhr, 15.12.2017

Vielen Dank für deine Hilfe. Das hat mir sehr geholfen.

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