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12 Spieler, wie viele Paarungen?

Schüler Technische u. gewerbliche mittlere u. höhere Schulen, 10. Klassenstufe

Tags: Kombinatorik, Wahrscheinlichkeit

zeroman0 aktiv_icon

21:36 Uhr, 02.11.2012

Hallo!

Hier mal die Angabe:

An einem Tennisturnier nehmen zwölf Spieler teil. Wie viele verschiedene Paarungen sind für die ersten Runden möglich?

Die Lösung ist:

7484400

Mich würde jetzt interessieren wie dies Funktionieren sollte.
Ich hatte mir das so gedacht: Spieler A kann gegen Spieler

B, C, D

usw. antreten.
Das heißt Spieler A gegen

11

andere. Bedeutet auch, dass Spieler

B

gegen

11

andere muss, usw.
Da aber meiner Meinung dies auch möglich ist: A gegen

B

bzw.

B

gegen A würde ich das Ergebnis verdoppeln.
Ich weiß nicht was an meiner Überlegung falsch ist. Ich komme ja nicht auf das gewünschte Ergebnis.

Kann mir hier einer weiterhelfen?

Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Gemischte Aufgaben der Kombinatorik
Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und mit Zurücklegen
Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und ohne Zurücklegen
Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

Ma-Ma aktiv_icon

21:41 Uhr, 02.11.2012

Hmm, ich kann mir vorstellen, dass immer 2 Spieler gegeneinander spielen sollen.
Wenn dies zutrifft, so heisst das:
Bilde aus

12

Spieler 2er-Gruppen. Wieviele 2er-Gruppen gibt es ?

\to

Binomialkoeffizient.

Wo hast Du die angebliche Lösung her ?

Capricorn-01 aktiv_icon

22:58 Uhr, 02.11.2012

Du brauchst 6 Paare.
Das erste:

(\begin{matrix} 12 \\ 2 \end{matrix})

Das zweite:

(\begin{matrix} 10 \\ 2 \end{matrix})

usw.
Dann multiplizieren.

Ma-Ma aktiv_icon

23:25 Uhr, 02.11.2012

Hallo Capricorn,
mir fällt immer wieder auf, dass Du beim Binomialkoeffizienten einem Irrtum begehst.

siehe Wikipedia:
"Der Binomialkoeffizient ist also die Anzahl der k-elementigen Teilmengen einer n-elementigen Menge. "

Alle möglichen 2er-Gruppen aus

12

Personen berechnen sich:

(\begin{matrix} 12 \\ 2 \end{matrix})

.
Damit wird in diesem Beispiel alles abgedeckt.

(Schaue Dir nochmal das Beispiel hier im Forum "Gläser klingen" an. Wird auf verschiede Weisen erklärt, inklusive Grafik.)

LG Ma-Ma

anonymous

23:46 Uhr, 02.11.2012

Ma-Ma hat recht: schon die Formulierung "das erste", "das zweite"... ist verdächtig (es geht, wenn man richtig fortsetzt)
Also: Reihenfolge spielt keine Rolle: 12 über 2

es gibt "tausende" Varianten: Gläser anstoßen, Hände schütteln, Schachturnier usw.
übrigens: Paarungen für den 1. Spieltag der BuLi: dort ist die Reihenfolge natürlich von Bedeutung (Heimspiel!)...

Frage an Ma-Ma: ich bekomme einfach Binomialkoeff. in LaTex nicht hin - wie geht´s?

Ma-Ma aktiv_icon

23:55 Uhr, 02.11.2012

Hallo irrsinn,
ich kenn mich im Tennis

(u . a

. auch Heimspiel) nicht aus.

Wenn Du meinst, Paarung AB

\neq

BA , dann lass ich das mal so im Raum stehen.
Meine Erfahrungen bei solchen Aufgaben, dass eher gemeint ist AB = BA.
Genau kann man das aus der Ast aber NICHT ablesen.

Ich schreibe im Textmodus.
Binomialkoeffizient ist (ohne Anführungszeichen) "((12),(2))"

= (\begin{matrix} 12 \\ 2 \end{matrix})

LG Ma-Ma

anonymous

00:03 Uhr, 03.11.2012

@Ma-Ma:
vielen Dank für die schnelle Antwort - wie gesagt: in LaTex habe ich damit Probleme

bei der Aufgabe habe ich doch gemeint, dass die Reihenfolge keine Rolle spielt - also (besser:-) {A,B}={B,A}. Beim Fußball ist das aber anders.

Ma-Ma aktiv_icon

00:10 Uhr, 03.11.2012

Na dann woll´n wir doch mal gaaaaanz korrekt sein:
Meine Annahme:

{(A; B)} = {(B; A)}

*schmunzel*

.. und im Fußball kenn ich mich genausowenig aus

. .

.

Ich wünsche einen schönen Abend bzw. einen "Guten Morgen".
Bis denne .. man sieht sich hier im Forum.

LG Ma-Ma

Capricorn-01 aktiv_icon

04:16 Uhr, 03.11.2012

Hallo Ihr beiden,

zumindest erklärt meine Lösung dem Fragesteller, wie man auf

7484400

kommt :-)

Wenn man die Aufgabe so versteht, dass man einfach die Anzahl möglicher Paare versteht (wie beim Händeschütteln), dann habt Ihr natürlich recht. Das gibt

66

Möglichkeiten:

z . B

(A; B)

(A; F)

(G; H)

Nach

66

Spielen hätte jeder gegen jeden gespielt.

Meine Lösung sieht so aus: Man sucht für die ersten 6 Spiele 6 mögliche Paare. Nach diesen 6 Spielen hat jeder einmal gespielt. Zuerst hat man

12

Spieler, von denen man 2 auswählt, dann

10,

dann 8. Am Schluss bleiben für das letzte Paar 2 übrig. Diese Kombinationen ohne Zurücklegen multipliziert man miteinander. Das gibt

7484400

mögliche Paarungen:

z . B

(A; B); (C; D); (E; F); (G; H); (I; J); (K; L)

(A; C); (B; D); (E; F); (G; H); (I; J); (K; L)

(A; L); (B; K); (C; J); (D; I); (E; H); (F; H)

Die Reihenfolge innerhalb der Paare spielt bei dieser Lösungsvariante keine Rolle.

Es kommt also darauf an, wie man die Aufgabenstellung versteht. Ich hoffe, Ihr könnt nun nachvollziehen, dass mein Lösungsansatz richtig ist, wäre die Frage so zu verstehen, dass die Zusammenstellungen von jeweils 6 Paaren gefragt ist. Ich kenne mich mit Tennis auch nicht aus, aber ein Spielverlauf mit 6 Spielen finde ich sinnvoll. Bei der ersten Variante würden

66

Spiele durchgeführt, was etwas viel ist.

@Ma-Ma: "Mir fällt immer wieder auf": Falls Du noch an eine andere Antwort von mir denkst, bei der Du die Richtigkeit bezweifelst, bin ich gerne bereit, das genauer anzuschauen. Man lernt ja schliesslich immer noch dazu.

LG

Ma-Ma aktiv_icon

04:47 Uhr, 03.11.2012

"Meine Lösung sieht so aus: Man sucht für die ersten 6 Spiele 6 mögliche Paare. Nach diesen 6 Spielen hat jeder einmal gespielt. Zuerst hat man

12

Spieler, von denen man 2 auswählt, dann

10,

dann 8. Am Schluss bleiben für das letzte Paar 2 übrig. Diese Kombinationen ohne Zurücklegen multipliziert man miteinander. "

Das kannst Du gerne so machen. In diesem Fall hat der BINOMOALKOEFFIZIENT aber nichts in der Formel zu suchen

. .

.

Übrigens: Bei Deiner Lösung (siehe Deinem Beispiel) wiederholen sich Paarungen

. .

Capricorn-01 aktiv_icon

05:01 Uhr, 03.11.2012

Diese Antwort verstehe ich nun gar nicht. Wenn ich doch für das erste Paar von den zwölf Spielern 2 aussuche, ist das doch genau das, was Du bei Deinem Ansatz machst. Das rechne ich doch so:

(\begin{matrix} 12 \\ 2 \end{matrix}) = \frac{12!}{2! \cdot 10!} = 66

Das ist ein typischer Fall von Kombination ohne Wiederholung. Wenn ich dann weiterfahre, sieht das so aus:

(\begin{matrix} 12 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 10 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 8 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 6 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix}) = 7484400

Wenn das falsch ist, dann habe ich wirklich noch etwas nicht verstanden...

Ma-Ma aktiv_icon

05:20 Uhr, 03.11.2012

Jepp, Du hast einen kleinen Denkfehler in Deiner Argumentation.

Beispiel:
Aus

32

Skatkarten sollen 2 Karten ausgewählt werden.
Wieviele unterschiedliche Möglichkeiten gibt es ?

Aus 6 Personen sollen 2 ausgewählt werden. Wieviele 2er Guppen gibt es ?

Schaue auch nochmal unter dem Stichwort Hypergeometrische Verteilung nach bzw. siehe in Deine Formelsammlung.
Alle "oberen" Zahlen in den Binomialkoeffizienten addiert ergeben die Gesamtmenge,
alle "unteren" Zahlen die ausgewählten.

(Nachtrag. Hypergeometriche Verteilung hinkt ein wenig als Beispiel

...)

Bei Deiner Rechnung wäre die Gesamtanzahl

12 + 10 + 8 + 6 + 4 + 2 = 42

und die ausgewählten Personen

= 12

.

LG Ma-Ma

Nachtrag: Wie würdest Du rechnen: Aus 3 Personen alle 2er-Gruppen auswählen ? Da würde Dein Muster nicht mehr passen

. .

Capricorn-01 aktiv_icon

05:52 Uhr, 03.11.2012

Sind wir uns wenigstens hier einig: Aus 6 Personen sollen 2 ausgewählt werden. Wieviele 2er Guppen gibt es ?
Das kann man mit einem Binomialkoeffizienten rechnen, es sind

(\begin{matrix} 6 \\ 2 \end{matrix}) = 15

einverstanden?

Wenn von den

12

Personen 4 Deutsche, 5 Schweizer und 3 Italiener sind, und ich brauche 3 Paare, wobei die Nationalitäten nicht vermischt werden dürfen, dann gäbe das

(\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix})

. Ich hätte dann oben die Gesamtsumme der

12

Personen und unten die ausgewählten

3 \cdot 2

. Das ist aber eine andere Aufgabe als hier.

Dass sich in der Auflistung bei mir einzelne Paare wiederholen, ist gewollt. Ich betrachte ja immer die 6 Paare als Ganzes. Diese wiederholen sich nicht, auch nicht in unterschiedlicher Reihenfolge, da ich dies durch die Abstufung

10 - 8 - 6 - 4 - 2

verhindere.

Nachtrag: Der letzte Satz stimmt nicht: Die 6 Paare treten in unterschiedlicher Reihenfolge auf. Durch die Abstufung

12 - 10 - 8 - 6 - 4 - 2

verhindert man nur die Wiederholung der Paare. Wenn man die Unterscheidung der Reihenfolge der Paare nicht will, muss man noch durch

6!

dividieren.

Ma-Ma aktiv_icon

06:08 Uhr, 03.11.2012

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Sind wir uns wenigstens hier einig: Aus 6 Personen sollen 2 ausgewählt werden. Wieviele 2er Guppen gibt es ?
Das kann man mit einem Binomialkoeffizienten rechnen, es sind

(\begin{matrix} 6 \\ 2 \end{matrix}) = 15

einverstanden?

\to

Das passt.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Wenn von den

12

Personen 4 Deutsche, 5 Schweizer und 3 Italiener sind, und ich brauche 3 Paare, wobei die Nationalitäten nicht vermischt werden dürfen, dann gäbe das

(\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix})

⋅

(\begin{matrix} 5 \\ 2 \end{matrix})

⋅

(\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix})

. Ich hätte dann oben die Gesamtsumme der

12

Personen und unten die ausgewählten 3⋅2.

\to

und die Paare sollen immer aus 2 (zwei!) Personen gleicher Nationalität bestehen.

\to

Das passt.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Jepp, so ist´s perfekt.
LG Ma-Ma

Nachtrag: Die Reihenfolge der Gruppen kann auch noch vertauscht werden.

Capricorn-01 aktiv_icon

07:19 Uhr, 03.11.2012

Noch ein interassenter Zusammenhang:
Der Binomialkoeffizient

(\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix})

ist

\frac{n \cdot (n - 1)}{1 \cdot 2} = \frac{n \cdot (n - 1)}{2!}

. Damit kann ich

(\begin{matrix} 12 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 10 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 8 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 6 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix}) = 7484400

schreiben als:

\frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 2!} = \frac{12!}{{(2!)}^{6}} = 7484400

Diese Formel kann ich wie folgt veranschaulichen:
Ich bilde die Permutationen

(12! = 479001600)

der

12

Tennisspieler. Mein erstes Paar sei immer an 1. und 2. Stelle, das 2. Paar an 3. und 4. Stelle usw. Jetzt kommt jedes Paar doppelt so oft vor wie gewünscht, weil mit den Permutationen auch die Partner innerhalb der Paare mit verschiedener Reihenfolge gezählt werden. Deshalb muss noch durch

2^{6}

dividiert werden. Auch kommen die Paare mit unterschiedlicher Reihenfolge vor. Will man dies nicht zulassen, muss man noch durch

6!

dividieren.

\to

Ich muss meine Behauptung in der letzten Antwort noch korrigieren, dass durch die Abstufung

12 - 10 - 8 - 6 - 4 - 2

eine Mehrfachzählung der Paare durch die Reihenfolge nicht vorkommt. Dadurch verhindert man nur die Wiederholung der Paare.

\frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 6!} = \frac{12!}{{(2!)}^{6} \cdot 6!} = 10395

Bummerang

17:37 Uhr, 03.11.2012

Hallo capricorn01

Respekt, Es ist nicht einfach gegen so einen Haufen "Blinder" zu bestehen ohne aufzugeben!

zeroman0 aktiv_icon

13:14 Uhr, 04.11.2012

Das ist mal der beste Mathe-Kampf gewesen, den ich je gesehen habe :-D)

Danke euch auf jeden Fall einmal!

peufla aktiv_icon

11:57 Uhr, 06.03.2015

Hallo zeroman0,

also ich bin mit der Formulierung der Aufgabe und vor Allem mit der kolportierten Lösungzahl nicht einverstanden.
Anstelle von: "Wie viele verschiedene Paarungen sind für die ersten Runden möglich?"
Würde ich schreiben: "Wie viele verschiedene Paarungen sind für die erste Runde möglich?".
Dies macht es wesentlich leichter die Aufgabe zu verstehen,
denn es ist für einen Tennis-Laien nicht ganz selbsverständlich, dass sämtliche "ersten Runden" mit dem gesamten Teilnehmerfeld ausgeführt werden.

Da weiters nur von möglichen "Paarungen" die Rede ist und nicht etwa von Aufstellungen

(z . B

. mit Spielfeldzuweisung), muss davon ausgegangen werden, dass die Reihenfolge der Paarungen irrelevant ist. Die korrekte Lösung ist

m . E

. daher

10395,

wie von Capricorn-01 beschrieben und nicht

7484400

.
Bitte korrigieren.

Danke und Gruss

G . D

Nicknamee aktiv_icon

17:26 Uhr, 16.11.2020

Das ist die unterhaltsamste Disskusion über Mathematik gewesen die ich jemals verfolgen durfte. Ich wollte an der Stelle nur mal sagen, dass ihr mir nicht nur weitergeholfen habt, sondern

15

Minuten meines Lebens unterhaltsamer gemacht habt. Außerdem habe ich diesen Account nur erstellt um das schreiben zu können.

LG

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