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12-te Einheitswurzeln und Anz. Einheitsw.bestimmen

Universität / Fachhochschule

Primzahlen

Tags: Primzahl

Timmyboy2411 aktiv_icon

11:58 Uhr, 07.08.2018

Hallo

Mal wieder eine Altklausuraufgabe zu der ich nichts finde:

Wir sollen in einem Körper mit

25

Elementen bestimmen, wie viele 12-te Einheitswurzeln es gibt, dann sagen, wie viele davon primitiv sind, und anschließend Produkt und Summe aller 12-ten Einheitswurzeln bestimmen.

Es gilt ja für die 12-ten Einheitswurzeln

x^{12} = 1 mod 25

.

wir hatten schon überlegt, den

Z_{25}

als

Z_{5} x Z_{5}

aufzuteilen, nur wissen wir nicht so genau wie wir dann mit der

12

weiter verfahren sollen.

Im

Z_{25}

alle Elemente von

0 - 24

mit

12

exponieren und dann

mod 25

rechnen wäre auch nicht so schnell machbar, dass es sinnvoll für eine Klausur wäre.

Und Dann ist da noch die Sache mit den primen Einheitswurzeln. Kann ich mir da nicht die Einheitswurzeln ansehen, und schauen, ob

x^{2}, x^{3}, x^{4}

oder

x^{6}

schon eine 1 ergibt? Denn

x^{12}

lässt sich ja nur mit

x^{2} \cdot x^{6}

oder mit

x^{3} \cdot x^{4} = x^{3} \cdot x^{2} \cdot x^{2}

darstellen. Wenn die alle nicht

1 mod 25

sind, dann ist

x

ja eine 12-te primitive Einheitswurzel oder?

LG, Tim.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Teilbarkeit natürlicher Zahlen

ermanus aktiv_icon

17:34 Uhr, 07.08.2018

Steht da wirklich Körper mit 25 Elementen?
Wenn ja, ist das weder

ℤ / 25 ℤ

noch

ℤ / 5 ℤ \times ℤ / 5 ℤ

; denn diese beiden Ringe sind keine Körper.
Sie sind nämlich nicht nullteilerfrei.
Gruß ermanus

ermanus aktiv_icon

19:13 Uhr, 07.08.2018

Da man ja in der Klausur - wie du schon bemerktest - nicht so
viel Zeit hat, wird es sich wohl wirklich um einen 25-elementigen Körper

K

handeln.
Die multiplikative Gruppe eines endlichen Körpers ist zyklisch,
d.h.

K^{*}

ist zyklisch und hat 25-1=24 Elemente.
Eine zyklische Gruppe hat zu jedem Teiler

d

ihrer Gruppenordnung
genau eine Untergruppe der Ordnung

d

, die ebenfalls zyklisch ist.
Es gibt also genau eine Untergruppe

U

von

K^{*}

mit

12

Elementen, da

12 ∣ 24

U

ist zyklisch, wird daher von einem
Element

z

erzeugt:

U = {z_{n} := z^{n} ∣ n = 0, \dots, 11}

.
Dieses

z

(

= z_{1}

) ist dann eine primitive

12

-te Einheitswurzel,
Alle Elemente von

U

erfüllen die Gleichung

x^{12} = 1

, sind also
sämtliche Nullstellen des Polynoms

x^{12} - 1

.
Damit muss dieses Polynom über

K

in Linearfaktoren zerfallen:

x^{12} - 1 = (x - z_{0}) (x - z_{1}) \cdot (x - z_{11})

.
Vergleicht man die Absolutglieder links und rechts, folgt:

- 1 = (- z_{0}) (- z_{1}) \dots (- z_{11}) = (- 1)^{12} z_{0} z_{1} \dots z_{11}

.
Das Produkt der

12

-ten Einheitswurzeln ist also

z_{0} z_{1} \dots z_{11} = - 1

.

Solltest du irgendwann auch mal wieder bereit sein, auf meine Beiträge zu reagieren,
kann ich euch den Rest verraten, wenn ihr nun nicht weiterkommt.

Mit frustrierten Grüßen
Ermanus

ermanus aktiv_icon

14:20 Uhr, 09.08.2018

Auch wenn der Frager nicht mehr reagiert, möchte vielleicht
der/die eine oder andere Algebra-interessierte Mitleser/in noch den
versprochenen Rest erfahren; dann wäre meine "Arbeit" nicht ganz vergebens.

Die Gruppe

U

der 12-ten Einheitswurzeln ist, wie bereits gesagt,
zyklisch. Eine Teilfrage war, wieviele primitive 12-te Einheitswurzeln es
gibt, d.h. wieviele erzeugende Elemente hat eine zyklische Gruppe
von

n = 12

Elementen. Bekanntermaßen ist diese Anzahl

= φ (n) = φ (12) = 4

,
wobei

φ

die Eulersche

φ

-Funktion ist.

Ist

z

eine solche primitive 12-te Einheitswurzel, so ist die
Menge aller primitiven 12-ten EWn

= {z = z^{1}, z^{5}, z^{7}, z^{11}}

,
d.h. der Exponent durchläuft alle zu 12 teilerfremden nat. Zahlen

< 12

und das sind ja gerade 4 Stück.

Nun zur Summe der 12-ten EWn:
Sei

S (z) = 1 + z + z^{2} + \dots + z^{10} + z^{11}

deren Summe, wobei wieder

z

eine
primitive EW sei.
Die EWn sind gerade die Nullstellen von

x^{12} - 1

,
also

x^{12} - 1 = (x - 1) (x - z) (x - z^{2}) \dots (x - z^{10}) (x - z^{11})

vergleicht man links und rechts das Glied mit

x^{11}

,
so bekommt man

0 = - S (z)

, also

S (z) = 0

.
Zum Spaß noch eine andere Methode:
Man hat

z S (z) = z (1 + z + z^{2} + \dots + z^{10} + z^{11}) = z + z^{2} + z^{3} + \dots + z^{11} + 1 = S (z)

,
folglich

(z - 1) S (z) = 0 \Rightarrow S (z) = 0

.

Als Beispiel für einen 25-elementigen Körper kann man z.B.

F_{25} := F_{5} [α] = ℤ / 5 ℤ [α] = {x + y α ∣ x, y \in F_{5}}

mit

α^{2} = 2

nehmen. Dort ist z.B.

z = 1 + α

eine primitive 12-te EW,
wie man leicht nachrechnen kann.

Gruß ermanus

@Tim: Du/ihr habt noch diesen und zwei weitere Threads offen :(

Timmyboy2411 aktiv_icon

15:03 Uhr, 09.08.2018

Tut mir leid, wir hatten noch Interesse, aber haben noch an anderen Themen gearbeitet.

Deine Antworten waren/sind auf jeden Fall sehr hilfreich, und wir sind dir wirklich dankbar!

Ich versuche mal mir anzugewöhnen,auf sowas schneller zu antworten!

LG, Tim.

Edit:
Das mit Euler hatten wir uns auch überlegt, nur auf die Summe waren wir nicht gekommen. Danke!

ermanus aktiv_icon

15:10 Uhr, 09.08.2018

Prima!
Mein "seelisches Gleichgewicht" ist wieder hergestellt ;-)

ermanus aktiv_icon

16:09 Uhr, 10.08.2018

Bitte abhaken !

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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