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1/2Pi bei Fouriertransformation

Universität / Fachhochschule

Komplexe Analysis

Tags: Fourie Transformation, Komplexe Analysis

onkelbenz aktiv_icon

00:19 Uhr, 18.03.2010

Hi, ich habe eine Frage zu $\frac{1}{2 π}$ bei Fourier Transformation - vielelicht kann mich jemand aufklären

Nun, es gibt verschiedene Varianten - bei manchen schreibt man bei FT $\frac{1}{2 π}$ und dann bei Rücktransformation nicht. -Im anderen Fall schreibt man umgekerht bei hin Transformation nicht, aber dafür bei Rücktransformation.

Und was macht man wenn die hin Transformation nicht von dir selbst gemacht worden ist, sondern wenn du schon fertige Spektralfunktion hast? -Muss ich dann $\frac{1}{2 π}$ vor dem Integral schreiben oder nicht?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

OmegaPirat

02:49 Uhr, 18.03.2010

Hallo
es kommt nur drauf an, dass man durch die Rücktransformation auch wieder auf die Ausgangsfunktion kommt.
Dies geht nur, wenn das produkt des Faktors vorm integral der fouriertransformation und der rücktransformation zusammen

\frac{1}{2 \cdot π}

ergibt. Die Aufteilung des faktors ist dabei nicht so wichtig.
du könntest auch als fouriertransformation sowas nehmen wie

F (k) = \frac{23421}{343} \cdot \int_{- \infty}^{\infty} e^{- i k x} \cdot f (x) d x

Dann muss aber die rücktranformation lauten:

f (x) = \frac{343}{46842 \cdot π} \cdot \int_{- \infty}^{\infty} e^{i k x} \cdot F (k) d k

weil

\frac{23421}{343} \cdot \frac{343}{46842 \cdot π} = \frac{1}{2 \cdot π}

Sehr beliebt ist eine symmetrische Aufteilung, also dass der faktor bei hin und rücktransformation derselbe ist. Also

F (k) = \frac{1}{\sqrt{2 \cdot π}} \cdot \int_{- \infty}^{\infty} e^{- i k x} \cdot f (x) d x

und

f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 \cdot π}} \cdot \int_{- \infty}^{\infty} e^{i k x} \cdot F (k) d k

Ab und zu sieht man auch noch die Aufteilung

F (k) = \frac{1}{2 \cdot π} \cdot \int_{- \infty}^{\infty} e^{- i k x} \cdot f (x) d x

und

f (x) = \int_{- \infty}^{\infty} e^{i k x} \cdot F (k) d k

bzw.

F (k) = \int_{- \infty}^{\infty} e^{- i k x} \cdot f (x) d x

und

f (x) = \frac{1}{2 \cdot π} \cdot \int_{- \infty}^{\infty} e^{i k x} \cdot F (k) d k

Per Konvention liegt soweit ich weiß Tabellierungen in der regel (sofern es nicht explizit anders erwähnt wird) die symmetrische Fourier-Transformation zu grunde, auf asymmetrische Transformationen kann man dann leicht durch multiplikation eines Faktors umrechnen.

onkelbenz aktiv_icon

05:49 Uhr, 18.03.2010

Also das heißt das keine einheitliche Regelung gibt. Ok, danke für die Aufklärung

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