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151. Ableitung einer Funktionen berechnen

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation

Gefoniks

18:57 Uhr, 25.02.2019

Hallo,

Ich versuche wieder verzweifelt eine Aufgabe zu lösen, leider ohne Erfolg.
Ich soll die 151.Ableitung von der Funktion:

f (x) = s i n (2 x) + 3 c o s (3 x)

angeben

Das einzige was ich weiß ist, dass die Funktion sich teilweise periodisch wiederholt, jeweils nach jeder 4.Ableitung. Aber wie drücke ich das mathematisch aus? Die Faktoren vor dem Sinus und Cosinus zeigen ja irgendwie auch ein wiederholendes Verhalten...

Könnte mir das jemand bitte erklären!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Bummerang

19:02 Uhr, 25.02.2019

Hallo,

1. Beim Sinus wiederholt sich nichts, außer man meint den Summanden Null, aber der wiederholt sich letztendlich bei jeder Funktion!

2. Berechne doch mal die ersten 8 Ableitungen und laß das blöde Ausrechnen der Faktoren sein! Mit Potenzen rechnet es sich leichter, wenn man sie nicht ausrechnet!

Gefoniks

19:10 Uhr, 25.02.2019

Die Idee mit den Potenzen hat bei mir jetzt natürlich einiges verändert...
Ich habe jetzt bei der 151. Ableitung

f^{151} (x) = 2^{151} . . . . + 3^{150} . . .

die Pünktchen sind hier Platzhalter für sin und cos. Woher weiss ich denn was bei der 151. Ableitung mit Sinus und Cosinus passiert?

Vielen Dank für deine Hilfe!!

ledum aktiv_icon

19:19 Uhr, 25.02.2019

HALLO

151 = 148 + 3

jede 4 te Ableitung von

sin (x)

ist wieder

sin (x)

also ist die 148ste auch wieder sind, die

151

sie des halb

- cos (x)

entsprechend mit

cos (x)

Gruß ledum

Gefoniks

19:27 Uhr, 25.02.2019

Hallo,

dann wäre die 151. Ableitung von cos(x) also sin(x), ist das richtig?

Gefoniks

19:30 Uhr, 25.02.2019

Meine Ableitung lautet dann:

f^{151} (x) = 2^{151} (- c o s (2 x)) + 3^{150} (s i n (3 x))

stimmt das so?

Respon

21:43 Uhr, 25.02.2019

Der Faktor für

sin (3 \cdot x)

müsste

3^{152}

sein.

Tobiris aktiv_icon

23:47 Uhr, 25.02.2019

Hallo,

wenn du eine so hohe Ableitung herausfinden möchtest, lohnt es sich, erstmal die ersten paar Ableitungen einer Funktion anzuschauen und daraus eine allgemeingültige Regel für die Ableitung zu bestimmen.

Nehmen wir als Beispiel den Sinus.

f (x) = s i n (x)

f^{I} (x) = c o s (x) = s i n (x + \frac{π}{2})

f^{I I} (x) = c o s (x + \frac{π}{2}) = s i n (x + 2 * \frac{π}{2})

f^{I I I} (x) = c o s (x + 2 * \frac{π}{2}) = s i n (x + 3 * \frac{π}{2})

f^{I V} (x) = c o s (x + 3 * \frac{π}{2}) = s i n (x + 4 * \frac{π}{2})

(Da die Nullstelle beim Cosinus um

\frac{π}{2}

vom Sinus verschoben ist und sonst identisch, kann man ihn als Sinus darstellen.)

Man kann gut ein Muster erkennen, bei der ersten Ableitung

1 * \frac{π}{2}

, bei der zweiten

2 * \frac{π}{2}

, der dritten

3 * \frac{π}{2}

usw..
Somit haben wir für die n-te Ableitung:

f^{n} (x) = s i n (x + n * \frac{π}{2})

Das kann man nun auch mit deiner Funktion machen.

f (x) = g (x) + h (x)

g (x) = s i n (2 x)

g^{I} (x) = 2 * c o s (2 x) = 2 * s i n (2 x + \frac{π}{2})

g^{I I} (x) = 4 * c o s (2 x + \frac{π}{2}) = 4 * s i n (2 x + 2 * \frac{π}{2})

g^{I I I} (x) = 8 * c o s (2 x + 2 * \frac{π}{2}) = 8 * s i n (2 x + 3 * \frac{π}{2})

g^{I V} (x) = 16 * c o s (2 x + 3 * \frac{π}{2}) = 16 * s i n (2 x + 4 * \frac{π}{2})

\Rightarrow g^{n} (x) = 2^{n} * s i n (2 x + n * \frac{π}{2})

h (x) = 3 * c o s (3 x)

h^{I} (x) = - 9 * s i n (3 x) = 9 * c o s (3 x + \frac{π}{2})

h^{I I} (x) = - 27 * s i n (3 x + \frac{π}{2}) = 27 * c o s (3 x + 2 * \frac{π}{2})

h^{I I I} (x) = - 81 * s i n (3 x + 2 * \frac{π}{2}) = 81 * c o s (3 x + 3 * \frac{π}{2})

h^{I V} (x) = - 243 * s i n (3 x + 3 * \frac{π}{2}) = 243 * c o s (3 x + 4 * \frac{π}{2})

\Rightarrow h^{n} (x) = 3^{n + 1} * c o s (3 x + n * \frac{π}{2})

\Rightarrow f^{n} (x) = 2^{n} * s i n (2 x + n * \frac{π}{2}) + 3^{n + 1} * c o s (3 x + n * \frac{π}{2})

Gefoniks

10:57 Uhr, 26.02.2019

Ich danke euch vielmals für eure Hilfe!!

DarkDragon98 aktiv_icon

19:04 Uhr, 29.05.2019

kleine fehler f^151(x)=2^151(−cos(2x))+3^152(sin(3x))

HAL9000

19:44 Uhr, 29.05.2019

Auch denkbar: Einbettung ins Komplexe via

f (x) = Re (g (x))

mit

g (x) := 3 \exp (3 i x) - i \exp (2 i x)

.

Letzteres besitzt die

n

-te Ableitung

g^{(n)} (x) = 3 (3 i)^{n} \exp (3 i x) - i (2 i)^{n} \exp (2 i x)

g^{(151)} (x) = 3 (3 i)^{151} \exp (3 i x) - i (2 i)^{151} \exp (2 i x) = - 3^{152} i \exp (3 i x) - 2^{151} \exp (2 i x)

mit Realteil

f^{(151)} (x) = 3^{152} \sin (3 x) - 2^{151} \cos (2 x)

.

Dabei wird

\cos (a x) = Re (\exp (i a x))

sowie

\sin (a x) = Re (- i \exp (i a x))

genutzt.

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