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1/x soll nicht stetig sein?
Universität / Fachhochschule
Stetigkeit
Tags: 1/x, Stetigkeit
 
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Hallo zusammen, ich habe in meinem Skript ein wenig vorgearbeitet und dort gelesen, dass die Funktion mit dem Definitionsbereich nicht stetig sein soll. Aber das kann doch gar nicht sein oder? Ist nicht genau diese Funktion für die reellen Zahlen ohne Null ein Musterbeispiel für Stetigkeit auch wenn man den "Stift beim Zeichnen absetzen muss"? Im Skript steht folgendes: mit dem Definitionsbereich ist nicht stetig, da man, um sie zu zu zeichnen, beim Überqueren der y-Achse den Stift absetzen muß. Um das gemäß unserer Definition formal zu erkennen, betrachte die Folge mit . Dann ist , was nicht konvergiert. Soweit so gut. Aber darf man denn überhaupt eine Folge definieren, die gegen Null (also gegen eine Zahl, die nicht im Definitionsbereich liegt) konvergiert? Denn im selben Skript gibt es noch diese Definitionen zum Grenzwert und zur Stetigkeit: Grenzwert einer Funktion: Der Grenzwert einer Funktion an der Stelle existiert, falls für jede Folge mit die Folge stets gegen den selben Wert konvergiert. Man schreibt in diesem Fall . Stetigkeit: Die Funktion heißt stetig an der Stelle , falls existiert und . Die Funktion heißt stetig auf , falls stetig ist für alle . Ich verstehe insbesondere den letzten Satz in der Def. von Stetigkeit so, dass wir auch nur Folgen einführen dürfen, deren Grenzwert im Definitionsbereich liegt. Liege ich falsch oder ist das ein (dicker) Fehler im Skript? |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff) |
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Allein die Tatsache, dass eine Definitionslücke vorliegt, reicht, um die Stetigkeit zu falsifizieren. EDIT: Das ist zwar richtig, aber das Nachfolge war hier Unsinn. gelöscht Die Crux ist hier im Wesentlichen der Unterschied zwischen Grundmenge und Definitionsmenge. ist nicht stetig auf der Grundmenge wohl aber stetig auf der Definitionsmenge . Ähnlich bei: ist in stetig, aber ist in nicht stetig, da im zweiten Fall die Definitionsmenge eben die Null ausschließt und an der Stelle Null eine Lücke vorliegt. EDIT: Auch das ist noch richtig, hat aber mit der Frage wenig zu tun ;-) |
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Hallo und danke für deine Antwort! Die Frage die bei mir dann aber zwangsläufig aufkommt, ist, weshalb genau diese Funktion ( auf ) sowohl im deutschsprachigen als auch dem englischsprachigen Wikipedia-Artikel zu Stetigkeit als stetig bezeichnet wird? Ich ziehe mal das Limeskriterium für Stetigkeit auf Wikipedia heran: Eine Funktion , ist stetig in genau dann, wenn der Grenzwert von für existiert und gilt oder ein isolierter Punkt ist. Allgemein gilt: Eine Funktion heißt stetig auf , wenn sie an jeder Stelle ihres Definitionsbereiches stetig ist. Für die Funktion gilt doch mit , dass die Funktion stetig auf ihrem Definitionsbereich ist. Und die Definition lässt m.E. gar nicht zu, dass die Null in Betracht gezogen wird (es soll ja sein). Irgendwas stimmt doch da nicht. :/ LG Marie  |
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In der Tat muss ich mich korrigieren! Ich hab da oben Unfug verzapft. ist auch auf stetig, da die Funktion an jeder Stelle stetig ist. Die Stetigkeit ist ja ein lokaler Begriff und gilt in einem Bereich dann, wenn sie an jeder Stelle des Bereichs gilt. Jetzt ist unstetig auf weil es in eine Stelle, nämlich gibt, an der unstetig ist. ist aber zB auf stetig, weil die Funktion an jeder Stelle in stetig ist. Gleiches lässt sich nun für auf sagen. Du hast völlig Recht, dass die Stelle 0 ja gar nicht zu untersuchen ist. Ihr habt aber in der Vorlesung offenbar gezeigt, dass mit nicht über der Grundmenge stetig ist. Im Beispiel bei Tante Wiki erfolgt der Ausschluß von 0 ja bereits bei der Grundmenge, nicht erst bei der Definitionsmenge! Hier wird also nur behauptet, das über der Grundmenge stetig ist. Ist ein wenig tricky, aber korrekt. Was trotzdem unklar ist, ist, warum ihr in der Vorlesung die Unstetigkeit in nicht einfach mit der Nichtexistenz des Funktionswerts erklärt habt. |
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Hallo zusammen! @Mariiieee: In der Tat enthält das Skript hier offenbar einen groben Schnitzer. Nach der üblichen Stetigkeits-Definition (und ich habe noch nie eine andere gesehen...) ist stetig. Punkt. Ich verstehe das Skript so, dass die Stetigkeit einer Funktion mit nur im Falle überhaupt definiert werden soll. Solange keine entsprechende Definition für beliebige Teilmengen vorliegt, macht es überhaupt keinen Sinn als stetig oder nicht stetig zu klassifizieren. @Roman: Du gehst offenbar von folgender Definition aus? Eine Abbildung für eine Teilmenge heißt stetig auf der Grundmenge , falls gilt und f stetig ist. Falls ich damit richtig liege: Ich habe eine solche Definition noch nie gesehen. Bist du sicher, dass sie üblich ist? Falls ich damit falsch liege: Von welcher Definition gehst du stattdessen aus? Viele Grüße Tobias |
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Hallo, möchte meine Einschätzung dazu ebenfalls zum besten geben: Ich bin der Meinung, dass es unredlich ist, eine Eigenschaft einer Funktion außerhalb ihres Definitionsbereichs festzulegen. Soll heißen: ich bin der Meinung, dass in Null weder stetig noch unstetig ist. Sie ist dort (vor allem und allein) nicht definiert. Auch andere Eigenschaften von Funktionen (Monotonie etc.) machen nur innerhalb des Definitionsbereichs Sinn. Mfg Michael |
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Auweia, da sind nun die Puristen und Fundementalisten am Wort ;-) Ich muss schon zugeben, dass ich nicht so gern im Schlamm der Grundlagen wühle. Einerseits, weil ichs wenig spannend finde und andereseits, weil man da immer wieder drauf kommt, wie wackelig und vor allem wie wenig einheitlich die ach so exakte Wissenschaft Mathematik gebaut ist. Solange ich sie damit aber auf Sinnvolles und Reales anwenden kann, soll mir das auch Recht sein. Zur Definition der Stetigkeit, die ja zunächst ein lokaler Begriff an einer Stelle ist: Stetigkeit in einem Punkt/an einer Stelle: "Eine Funktion ist stetig in wenn ...und hier eine der vielen möglichen, unterschiedlichen Definitionen]". Stetig kann die Funktion also nur in einer Stelle des Definitionsbereichs sein. Ist es aber wirklich "unredlich" (die Redlichkeit in der Mathematik wär ein eigenes Thema Wert) oder sagen wir, zulässig, zu behaupten, wäre in unstetig? Nach der strengen Definition "Es wird eine Funktion innerhalb ihres Definitionsbereichs überall dort als unstetig bezeichnet, wo sie nicht stetig ist." offenbar ja. Ich bin allerdings gewohnt, auch Pole und Definitionslücken als Unstetigkeitsstellen zu bezeichnen, was ich nach obiger Definition ja nicht dürfte, weil die Funktion an diesen Stellen ja eben nicht definiert ist. Tante Wiki zB definiert zwar streng die Unstetigkeit wie oben nur für Werte aus um dann aber ein paar Zeilen tiefer unter "Klassifikation der Unstetigkeitsstellen" die Meinung zu vertreten: "Einen Pol (oder Polstelle) nennt man eine Unstetigkeit, . " Na was nu? Ein Pol ist ja wohl noch immer eine spezielle Definitionslücke, oder? Und wenn man dort die Stetigkeit/Unstetigkeit gar nicht untersuchen kann/darf, wie kann man dann dort von einer Unstetigkeit sprechen? Tante Wiki ist aber nicht die einzige, die diesen Widerspruch aufweist. Stetigkeit einer Abbildung auf einem Bereich: Hier kommt es darauf an, wie diese Stetigkeit auf einem Bereich genau definiert ist. Was ist, wenn der Bereich Definitionslücken enthält. Ist die Frage dann "unredlich" und kann nicht beantwortet werden, weil sie böse ist? Oder lassen wir großzügig auch Bereiche zu, die nicht notwendigerweise Teilmenge der Definitionsmenge ist. Ich hoffe, dass sich auch für diese großzügigere Definition Literaturstellen finden lassen, auch wenns mir zugegebenermaßen nicht wichtig genug ist, jetzt selbst danach zu graben. Stetigkeit einer Abbildung. Da scheint es einen gewissen Konsens zu geben, dass man darunter die Stetigkeit der Abbildung auf ihrem Definitionsbereich versteht und demnach geht als stetige Funktion durch. Ich kenne aber die Definition einer Abbildung nicht nur als eine Zuordnung VON IN oder VON AUF sondern auch als Zuordnung AUS IN Z. Da muss der Funktionsterm noch nicht notwendigerweise für jedes Element aus definiert sein (das amcht dann die Einschränkung auf . Sieht man in diesem Sinne als Funktion AUS IN dann macht es durchaus Sinn, die Stetigkeit von als die Stetigkeit von auf ganz zu sehen und damit wäre dann unstetig. Da es also von den genauen Definition abhängt, ob das Skriptum von Mariiiieee einen groben Schnitzer enthält oder nicht, müssten wir darauf warten, dass Mariiiieee uns mitteilt, wie denn die Begriffe Stetigkeit an einer Stelle, Stetigkeit auf einem Bereich und Stetigkeit einer Funktion per se genau in diesem Skript definiert sind. |
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Vielen Dank euch allen für die doch sehr lebhafte Diskussion. ;-) Mein Skript enthält keine weiteren Definitionen zur Stetigkeit. Es ist ein Skript für Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler (der Verfasser und Dozent ist aber Mathematiker und sollte eigentlich wissen was er schreibt ;-)). Bislang gab es auch keine Vorlesung dazu. Die kommt erst in ein paar Wochen. Ich habe das Skript aus Interesse schon mal gelesen und mir ist dabei die Problematik mit der Funktion 1/x aufgefallen. |
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Hallo Roman! Danke für deine Meinung! :-) Ich glaube, du schätzt mich, wenn du mich als Purist/Fundamentalist einstufst, falsch ein und wir liegen gar nicht so weit auseinander. Wir scheinen uns einig zu sein, dass mathematische Einstufungen von den zugrunde gelegten Definitionen abhängen. Solange man erklärt, von welcher Definition man ausgeht, habe ich kein Problem mit abweichenden Definitionen. (Sollte also tatsächlich im Skript an anderer als der zitierten Stelle noch eine Definition von Stetigkeit von Abbildungen für auftauchen, die von den mir bekannten abweicht, so könnte tatsächlich doch kein grober Schnitzer im Skript vorliegen. Diese Möglichkeit habe ich übersehen, sorry. In diesem Fall bitte ich Mariiieee um eine entsprechende Mitteilung hier im Thread. Diese Möglichkeit hat sich, während ich hier am Beitrag schreibe, nun nach Mariiieees Rückmeldung erübrigt.) Ich billige z.B. auch jedem zu, eine eigene Addition reeller Zahlen zu definieren, gemäß der 1+1=3 gilt. Auf Nachfrage sollte dieser jemand dann seine Definition, auf deren Grundlage er arbeitet, präsentieren können. Dies ändert nichts daran, dass bezüglich der "gewöhnlichen" Addition reeller Zahlen gilt. Ich habe also kein Problem damit, wenn du sagst: ist nicht stetig auf gemäß folgender Definition: [...passende eigene Definition...]. Auf die Angabe dieser passenden Definition warte ich allerdings noch. :-) Viele Grüße Tobias |
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Kurz noch Senf von mir: ist in stetig, aber nicht auf ganz stetig fortsetzbar! |
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@tobit Ich glaube, du schätzt mich, wenn du mich als Purist/Fundamentalist einstufst, falsch ein. Ich sehe in Puristen bzw. Fundamentalisten in erwähntem Zusammenhang nichts Negatives. Diese Sicht- und Betrachtungsweise der Mathematik ist durchaus auch wichtig und kann, wie ich mich noch schwach erinnern kann, auch schöne Momente bescheren. Mittlerweile ist das aber eben nicht mehr ganz meins. Sollte also tatsächlich im Skript . eine Definition von Stetigkeit . auftauchen, die von den mir bekannten abweicht, . Genau das ist die Crux - dieses "die mir bekannte Definition", "die üblichen Voraussetzungen", "die gewöhnliche Addition", "so wie es ich gelernt habe", "so wie ich glaube es einmal gelernt zu haben"... (letzteres auf mich bezogen ;-) Es gib eben keine verbindliche Mathematik-Bibel, in der alle grundlegenden (was immer das auch sein mag) Definitionen und Konventionen verbindlich festgelegt wären. Was Bezeichnungen wie (mit und log (eben nicht dasselbe wie lg oder anlangt, gibts immerhin nationale und internationale Normen, über die man sich vor allem im universitären, aber auch im schulischen Bereich mit schöner Regelmäßigkeit nonchalant hinweg setzt - meist ohne das auch noch extra zu erwähnen, dass man nun von einer, von der Norm abweichenden, Definition ausgeht. Im Bereich wie Stetigkeit udgl. gibts nichtmal eine zahnlose Norm, nur allgemein als seriös angesehene Standardwerke, die sich aber auch nicht immer 100%ig einig sind. Und gerade wenn es um eine Frage wie eben die Stetigkeit von geht, bei der zwangsläufig dann jede Menge Rabulistik ins Spiel kommt, gehts ohne explizit angegebene Definitionen nicht. Man könnte es natürlich auch pragmatisch sehen: Ob stetig ist. Hmm, wie du es gern definiert haben möchtest - ist ja nur ein Begriff. Aber sag mir lieber, was du konkret damit machen möchtest, dann kann ich dir sagen, ob das geht und zulässig ist. Auf die Angabe dieser passenden Definition warte ich allerdings noch. :-) Hab ich im Grunde oben schon geliefert. Ich würde bei Stellen, die nicht in liegen, die Frage, ob dort Stetigkeit vorliegt, nicht mit "das ist böse; das darfst man nicht fragen", sondern schlicht mit "nein" beantworten. Also einfach aus der entsporechenden Definition das "aus D" entfernen. Dann kann ich auch die Stetigkeit auf einen Bereich, der keine Teilmenge von ist, verneinen und ist somit auf nicht stetig. Mag durchaus sein, dass man nun Beispiele konstruieren kann, wo das zu Problemen führt. @ermanus ist in ℝ\0} stetig, aber nicht auf ganz ℝ stetig fortsetzbar! Thumbs up! Guter Senf! |
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Hallo Roman! > Genau das ist die Crux - dieses "die mir bekannte Definition", "die üblichen Voraussetzungen", "die gewöhnliche Addition", "so wie es ich gelernt habe", "so wie ich glaube es einmal gelernt zu haben"... (letzteres auf mich bezogen ;-) Wie würdest du denn z.B. die in der Grundschule kennengelernte Addition natürlicher Zahlen bezeichnen? Ich nenne sie die "gewöhnliche Addition" natürlicher Zahlen. Damit meine ich keine Wertung, dass sie besser/legitimer als andere Definitionen von Additionen natürlicher Zahlen sei, sondern will lediglich auf die Definition beziehen, die ich hier meine. > Es gib eben keine verbindliche Mathematik-Bibel, in der alle grundlegenden (was immer das auch sein mag) Definitionen und Konventionen verbindlich festgelegt wären. Volle Zustimmung. > Und gerade wenn es um eine Frage wie eben die Stetigkeit von geht [...] gehts ohne explizit angegeben Definition nicht. Ja gerade darum versuche ich ja die ganze Zeit, deine Definition von Stetigkeit herauszufinden! Leider gelingt mir das auch mit deiner neuen Antwort nicht vollständig. Ich versuche mal ein paar Interpretationen. Vielleicht kannst du mir ja sagen, ob ich jeweils richtig oder falsch liege. > Ich würde bei Stellen, die nicht in D liegen, die Frage, ob dort Stetigkeit vorliegt, nicht mit "das ist böse; das darfst man nicht fragen", sondern schlicht mit "nein" beantworten. (Diese Stellen, die nicht in D liegen, sollen aber in liegen, oder?) Interpretation 1: Sei mit und . Dann heißt f stetig in x, falls gilt und für alle Folgen mit für alle und auch gilt. > Also einfach aus der entsporechenden Definition das "aus D" entfernen. Damit komme ich auf: Interpretation 2: Sei mit und . Dann heißt f stetig in x, falls für alle Folgen mit für alle und auch gilt. Problem daran: In dieser "Definition" taucht am Ende ein im Allgemeinen nicht wohldefiniertes f(x) auf. Vielleicht ist Folgendes gemeint? Interpretation 3: Sei mit und . Dann heißt f stetig in x, falls für alle Folgen mit für alle und auch und gilt. Diese Stetigkeitsdefinition schließt allerdings nicht aus, dass eine Funktion an Stellen außerhalb ihres Definitionsbereiches stetig sein könnte. Siehst du jetzt, wie schwer es mir fällt, deine Definition zu erschließen? Vielleicht kannst du sie ja einfach vollständig und explizit angeben. Viele Grüße Tobias |
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Im Grunde geht es nicht um die Definition der Stetigkeit, die ist unstrittig, denn die setzt lokal ja ohnedies die Existenz des Funktionswerts und somit Werte aus voraus. Es geht um die Frage, ob "unstetig" die Negation von stetig ist und somit eine Eigenschaft ist, die auch Stellen außerhalb von haben können. Ob man also sagen kann, dass eine Funktion an einer Stelle unstetig ist. Also ob es "Eine Funktion heißt unstetig an der Stelle falls sie dort nicht stetig ist. heißen muss, und eine Funktion an einer Stelle weder stetig noch unstetig sein kann, weil sie dort eben einfach nicht "ist", oder ob auch "Eine Funktion heißt unstetig an der Stelle falls sie dort nicht stetig ist. akzeptabel ist. Im ersten, "üblichen", Fall, dürfte man eine Definitionslücke und speziell eine Polstelle nicht Unstetigkeitsstelle nennen und da widersprechen sich eben wie oben schon geschrieben manchen Quellen. Eben hab ich etwas Seltsames gefunden: misc.st23.org/mathe/2.24.stetig.unstetig.pdf Jede Funktion die an irgendeiner Stelle nicht definiert ist nennt man unstetig. Sollte die Heaviside-Funktion nun doch stetig sein ??? :-) |
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> Im Grunde geht es nicht um die Definition der Stetigkeit, die ist unstrittig, denn die setzt lokal ja ohnedies die Existenz des Funktionswerts und somit Werte aus D voraus. Sei mit . Variante 1: Sei . Dann sagen wir, f sei stetig in x, falls ... Variante 2 (entspricht der Interpretation 1 aus meinem vorherigen Beitrag und verallgemeinert Variante 1): Sei . Dann sagen wir, f sei stetig in x, falls gilt und ... > 1) "Eine Funktion f:-D)→ℝ heißt unstetig an der Stelle x0∈D, falls sie dort nicht stetig ist. An dieser Definition habe ich nichts auszusetzen. > und eine Funktion an einer Stelle x0∉D weder stetig noch unstetig sein kann, weil sie dort eben einfach nicht "ist" Die Frage "Ist f in (un)stetig?" ist bei ausschließlicher Zugrundelegung von Variante 1 der Stetigkeits-Definition und 1) der Unstetigkeits-Definition schlichtweg keine wohldefinierte. > 2 "Eine Funktion f:-D)→ℝ heißt unstetig an der Stelle x0∈ℝ, falls sie dort nicht stetig ist. Bei Zugrundelegung von Variante 2 der Stetigkeits-Definition habe ich auch an dieser Definition nichts auszusetzen. Bei Zugrundelegung von Variante 1 der Stetigkeits-Definition verletzt diese Unstetigkeits-Definition jedoch die Regeln der Wohldefiniertheit: Solange wir nicht erklärt haben, wann f an einer beliebigen Stelle stetig ist, haben wir auch nicht erklärt, wann f an einer beliebigen Stelle nicht stetig ist. > Es geht um die Frage, ob "unstetig" die Negation von stetig ist und somit eine Eigenschaft ist, die auch Stellen außerhalb von D haben können. Das "somit" halte ich für unglücklich. Die Negation von "stetig" hängt von Wahl von Variante 1 oder Variante 2 der Stetigkeits-Definition ab. > Ob man also sagen kann, dass eine Funktion an einer Stelle x0∉D unstetig ist. Hängt von der gewählten Unstetigkeits-Definition ab. Ich hoffe, jetzt ist deutlich geworden, dass ich dir wirklich so ziemlich jede den Regeln der Wohldefiniertheit genügende Definition zubillige, wenn du sie explizit angibst. Diese Angabe fehlte mir bisher, aber ich glaube nun verstanden zu haben, dass du mit Variante 2 der Stetigkeits-Definition und 2 der Unstetigkeits-Definition argumentierst. :-) (Falls ich damit falsch liege, korrigiere mich bitte.) |
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Hallo, man bendenke, dass dann interessanterweise an viel mehr Stellen unstetig wäre als stetig. So z.b. in . Wie gesagt, Aussagen über eine Funktion machen zu wollen an Stellen "außerhalb des Universums", halte ich für unredlich. Mfg Michael Synonyme zu redlich anständig, aufrecht, aufrichtig, ehrenhaft, ehrlich, fair, grundanständig, gut, hochanständig, integer, ordentlich, unbescholten, verlässlich; (schweizerisch) recht; (gehoben) achtbar, edel, ehrbar, ehrenwert, honett, lauter; (bildungssprachlich) loyal; (umgangssprachlich) fein; (schweizerisch, sonst umgangssprachlich) senkrecht; (veraltend) bieder, brav, honorig, rechtlich, rechtschaffen, wacker; (veraltet) ehrenfest, fromm Da kann sich jetzt jeder eins aussuchen und es ins Gegenteil verkehren, um den Begriff "unredlich" zu verstehen. Wenn man den "richtigen" trifft, versteht man meine Aussage. |
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Die Stetigkeit einer Funktion ist glasklar definiert (aber es gibt verschiedene äquiv. Definitionen, je nachdem, ob ich die Topologie o.ä. bevorzuge). : Nehmen wir die Folgendef. für Stetigkeit für das Beispiel: f ist stetig auf für ein für alle Folgen und gilt: . Die Negation dieser Definition liefert die Aussage, wann eine Funktion unstetig ist, nämlich: Wenn es eine Folge und gibt, für die . Diese Folge gibt es im Beispiel. ist nicht vollständigt, damit liegt nicht im Definitionsbereich, mithin existiert nocht nicht einmal , und erst recht gilt damit . Also: f ist unstetig an der Stelle . |
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Vielen Dank allen Beteiligten für die muntere Diskussion! :-) @HilbertRaum: > f ist stetig auf ℝ\{0} für ein x0⇐⇒ für alle Folgen (xn):xn∈ℝ und xo=limxn gilt: f(x0)=limf(xn). Dieser Definitionsversuch scheitert an der Wohldefiniertheit: Hinten wird munter gebildet, obwohl gelten könnte. Wenn du darüber hinaus zulassen möchtest (in dieser Hinsicht ist diese "Definition" leider nicht glasklar, da sie gar nicht verrät, was für ein Objekt sein soll), ist auch das Bilden von ein Verstoß gegen die Regeln der Wohldefiniertheit. > [...] mithin existiert nocht nicht einmal f(x0), und erst recht gilt damit f(x0)≠limf(xn) ??? Du stellst selbst fest, dass für überhaupt keinen Sinn ergibt, möchtest aber trotzdem eine Aussage über treffen? @michaL: > man bendenke, dass f:ℝ\{0}→ℝ,x↦1x dann interessanterweise an viel mehr Stellen unstetig wäre als stetig. So z.b. in i. Dazu müsstest du zunächst definieren, was du unter Stetigkeit von f in i verstehst. In meinen Interpretationen von Romans Definition wird nur die Stetigkeit an Stellen definiert. (Aber auch ich habe mich schon gefragt, ob Roman eigentlich auch Stetigkeit von f an Stellen definieren möchte.) |
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Tobit, die von mir angegebene Definition der Stetigkeit ist 1. Sem. Analysis und wird seit 200 Jahren gelehrt (modulo meiner vergessenen 0, s.u.). kann nicht gelten, das definitionsgemäß . Ja, in der Def. habe ich auf der rechten Seite die ausgeplammerte 0 vergessen, also korrekt ist natürlich f ist stetig auf für ein ⇔ für alle Folgen und gilt: . |
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"??? Du stellst selbst fest, dass f(x0) für x0=0 überhaupt keinen Sinn ergibt, möchtest aber trotzdem eine Aussage über f(x0) treffen?" Sicher. Die Definition sagt: wenn f(x0) ... dann stetig. Wenn f(x0) nicht existiert, folgt unstetig. |
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@HilbertRaum: > f ist stetig auf ℝ\{0} für ein x0⇔ für alle Folgen (xn):xn∈ℝ\{0} und x0=limxn gilt: f(x0)=limf(xn). Interpretation a): Es soll vorausgesetzt sein. Dann gebe ich dir Recht, dass diese Definition Gegenstand von Analysis 1 ist und schon lange gelehrt wird. Ich habe nichts dagegen einzuwenden. Interpretation b): Es soll beliebig sein. Dann haben wir immer noch das Wohldefiniertheits-Problem, dass hinten möglicherweise undefiniert ist. Unabhängig davon, ob jemand diese "Definition" lehrt, ist sie mangelhaft. Interpretation c): Es soll heißen: f ist stetig auf ℝ\{0} für ein ⇔ für alle Folgen (xn):xn∈ℝ\{0} und x0=limxn gilt: und f(x0)=limf(xn). Diese Definition genügt den Regeln der Wohldefiniertheit. > "??? Du stellst selbst fest, dass f(x0) für x0=0 überhaupt keinen Sinn ergibt, möchtest aber trotzdem eine Aussage über f(x0) treffen?" > > Sicher. Die Definition sagt: wenn f(x0) ... dann stetig. Wenn f(x0) nicht existiert, folgt unstetig. Wenn ich dich richtig verstehe, möchtest du mit einer Logik arbeiten, die auch nicht wohldefinierten "Aussagen" eine Art "Wahrheitswert" zuweist? Wie lauten dann für dich etwa die Wahrheitswerte der beiden "Aussagen" und , wobei ich mit 0, 1 und 5 hier die entsprechenden ganzen Zahlen meine und als undefiniert gelte? Idee 1: Beide Aussagen falsch. Dann muss man aufpassen, dass z.B. keine Tautologie mehr darstellt. Idee 2: Beide Aussagen erhalten einen dritten Wahrheitswert "undefiniert". Damit wären wir bei einer dreiwertigen Logik und müssten uns Gedanken machen, wie wir Junktoren und Quantoren im Rahmen dieser Logik verstehen wollen. Auch hier wäre wohl nicht mehr zwangsläufig wahr. |
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Ich versuche es mal allgemein darzustellen. Sein X,Y topol. Räume, Unterraum, und . Abbildung Def. (Folgenstetigkeit f ist stetig in , wenn für alle Folgen und gilt: . (Aus der formalen Negation folgt der Begriff Unstetig.). Bekanntlich gibt es weitere äquivalente Definitionen, z.B für metr. Räume. (1) ist Häufungspunkt von A, es muss nicht gelten . (2) Es gelte Für die Grenzwertbildung ist dies (!) unerheblich. Aber in diesem Fall hat f den wohlbestimmten Wert und wir setzen: . Die Abbildung ist definitionsgemäß stetig. (3) Es gelte mit Da der Grenzwert existiert , kann man stetig ergänzen wobei die stetige Ergänzung von f ist. f selbst ist unstetig in . Man fordert nur, dass für alle Umgebungen eine Umgebung existiert mit \ . (4) Es gelte mit existiert nicht o. uneigentlich In diesem Fall heisst f im Punkt unstetig (obwohl f nicht definiert ist für ). Es ist unerheblich, welchen Wert man f in diesem Punkt auch zuschreibt. |
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@HilbertRaum: Zuerst eine Randbemerkung: Bei beliebigen topogischen Räumen ist Folgen-Stetigkeit notwendig, aber nicht hinreichend für Stetigkeit im üblichen Sinne. Aber es steht dir natürlich frei, abweichend davon Stetigkeit bei topologischen Räume durch Folgen-Stetigkeit zu definieren. > Def. (Folgenstetigkeit)1 > f ist stetig in x0, wenn für alle Folgen (xn)∈A und limxn=x0 gilt: limf(xn)=f(x0). Wir haben hier das gleiche Wohldefiniertheits-Problem, dass ich schon angesprochen habe: Hinten wird munter gebildet, obwohl gar nicht aus dem Definitionsbereich A von f stammen muss. > (1) x0 ist Häufungspunkt von A, es muss nicht gelten x0∈A. Deiner Definition kann ich nicht entnehmen, dass Häufungspunkt von sein soll. Aber das kannst du natürlich zusätzlich voraussetzen, wenn du es bei der Definition angibst. (Beachte dabei: -Nicht alle müssen Häufungspunkte von A sein. -Wenn Häufungspunkt von A ist, muss noch lange keine Folge mit für alle existieren, die gegen konvergiert.) > (2) Es gelte x0∈A > Für die Grenzwertbildung limf(xn) ist dies (!) unerheblich. Ja (zumindest wenn alle verschieden von sind). > Aber in diesem Fall hat f den wohlbestimmten Wert f(x0) Ja. > und wir setzen: limf(xn)=f(x0). Hier kann ich dem "wir setzen", was nach einer Definition klingt, nicht ganz folgen. Aber möglicherweise meinst du es richtig. > Die Abbildung ist definitionsgemäß stetig. Ja, wenn die Bedingung aus der Definition erfüllt ist. > (3) Es gelte x0∉A mit limf(xn)=y0<∞ > Da der Grenzwert existiert (2, kann man stetig ergänzen > f˘(x)=(y0fürx=x0f(x)sonst > wobei f˘ die stetige Ergänzung von f ist. Das geht, wenn alle diese Grenzwerte für verschiedene Folgen übereinstimmen. > f selbst ist unstetig in x0. Hier sind wir im nicht wohldefinierten Fall der obigen Definition. > (4) Es gelte x0∉A mit limf(xn) existiert nicht o. uneigentlich (Was meinst du mit uneigentlicher Existenz von Grenzwerten im Zusammenhang mit beliebigen topologischen Räumen?) > In diesem Fall heisst f im Punkt x0 unstetig (obwohl f nicht definiert ist für x0) Ist das jetzt eine Definition? Dann ok. Ansonsten sind wir wieder im nicht wohldefinierten Fall der obigen Definition. Vor lauter Details droht mein wesentlicher Punkt unterzugehen: Das obige Wohldefiniertheits-Problem. Du kannst ja schreiben: Sei ein Häufungspunkt von A. (Falls du dies voraussetzen möchtest.) f ist (folgen)stetig in , wenn für alle Folgen mit für alle mit gilt: und . Man beachte das kurz vor Ende der Definition. Dann wäre alles klar. Wenn du jedoch bei deiner Definition bleiben möchtest, bin ich raus, da ich nicht mit nicht wohldefinierten Definitionen arbeiten möchte (solange du mir keine Logik verrätst, nach der dies möglich ist). |
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Ich glaube, die Konversation interessiert niemanden mehr, dennoch kurz Feedback. 1. "Folgen-Stetigkeit notwendig, aber nicht hinreichend für Stetigkeit im üblichen Sinne" Ja! Ich habs mir hier etwas leicht gemacht, weil es um diesen Punkt nicht wirklich ging. Klar: die Äquiv. besteht in Hausdorffräumen mit 1. Abz.Ax. 2. "Wir haben hier das gleiche Wohldefiniertheits-Problem" Nein! Das ist eine Definition, in der ja nicht ausgeschlossen ist, dass . 3. "Wenn x0∈X Häufungspunkt von A ist, muss noch lange keine Folge". Ich habe aber gesagt, dass , und mit . 4. uneigentlich Ja, falls , dass ist natürlich ein Spezialfall. |
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> Ich glaube, die Konversation interessiert niemanden mehr Möglich. Aber wen die Diskussion nicht interessiert, der muss sie ja nicht lesen. ;-) > 2. "Wir haben hier das gleiche Wohldefiniertheits-Problem" > Nein! Das ist eine Definition, in der ja nicht ausgeschlossen ist, dass x0∈A⊂X. Es ist in der Tat nicht ausgeschlossen, dass gilt. Für diesen speziellen Fall ist das Kriterium aus der Definition wohldefiniert. Das ist aber völlig irrelevant für die Frage, ob die Definition insgesamt ein wohldefiniertes Kriterium liefert: Dazu muss sie für alle zugelassenen Konstellationen ein wohldefiniertes Kriterium liefern, nicht nur für einen echten Teil der Konstellationen. Solange Konstellationen mit nicht ausgeschlossen sind, ist dies nicht der Fall (weil gebildet wird). Du bist ja nun kein Erstsemester mehr und müsstest eigentlich verstehen können, dass nur in Kontexten wohldefiniert ist, in denen garantiert aus dem Definitionsbereich von f stammt. Ich bin etwas ratlos, wie ich dir dieses Verständnis vermitteln soll... Möglicherweise muss ich akzeptieren, dass mir dies nicht gelingt und es dabei bewenden lassen. ( > 3. "Wenn x0∈X Häufungspunkt von A ist, muss noch lange keine Folge". > Ich habe aber gesagt, dass A⊂X, x0∈X und (xn)∈A mit limxn=x0. Du hast und vorausgesetzt. Innerhalb deiner Definition taucht dann ein "für alle"-Quantor über alle Folgen mit für alle und auf. Damit ist natürlich nicht gesichert, dass es überhaupt eine solche Folge gibt. Falls dir das ohnehin klar war, kannst du meine entsprechende (Rand-)Bemerkung getrost ignorieren. ) |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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