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1^x ungleich 1? - Komplexe Zahlen

Schüler Maturitätsschule, 13. Klassenstufe

Tags: Komplexe Zahlen

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11:35 Uhr, 21.05.2009

Hi!
Ich habe hier eine kleine Aufgabe betreffend Komplexen Zahlen.

Die Frage lautet:
Hat

1^{x} = 3

eine Lösung? Geben Sie alle möglichen Lösungen an oder beweisen Sie, dass es keine gibt.

Nun... hier mein Lösungsansatz:

1^{x} = 3

{(e^{ln (1)})}^{x} = e^{ln (3)}

e^{ln (1) \cdot x} = e^{ln (3)}

ln (1) \cdot x = ln (3)

x = \frac{ln (3)}{ln (1)} = \frac{ln (3)}{0} - \to

undef.

- \to

deshalb hat

1^{x}

keine Lösung!

Aber in der Lösung wird folgendes gemacht:

1 = e^{k \cdot 2 \cdot Π \cdot i}

{(e^{k \cdot 2 \cdot Π \cdot i})}^{x} = 3 = e^{ln (3)} - \to e^{k \cdot 2 \cdot Π \cdot i \cdot x} = e^{ln (3)}

- \to k \cdot 2 \cdot Π \cdot i \cdot x = ln (3)

x = \frac{ln (3)}{k \cdot 2 \cdot Π \cdot i} = - ln (3) \cdot \frac{i}{k \cdot 2 \cdot Π}

Es gibt also

\infty

viele Lösungen!

Nun, ich verstehe die verschiedenen Umformungen eigentlich schon. Was ich nicht verstehe, ist

a)

Weshalb die Resultate verschieden sind, wobei ich bei keinem der beiden Wege einen Fehler sehe.

b)

Weshalb, wenn ich

x = - ln (3) \cdot \frac{i}{k \cdot 2 \cdot Π}

oben einsetze, es NICHT 3 gibt, obwohl der Lösungsweg logisch ist. (Aber im Prinzip ja klar.. wie soll cis(x)>1 sein ohne einen Betrag davor?)

Danke für eine Aufklärung

=)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

anonymous

11:53 Uhr, 21.05.2009

naja, mach dir mal eine wertetabelle zu

x \to 1^{x}

mit reellen zahlen.

deswegen ist dann ansatz auch schon "falsch", denn es soll sich ja um komplexe zahlen handeln

Seeker aktiv_icon

12:16 Uhr, 21.05.2009

hm... ja, stimmt, klar. Ich habe jetzt alles nochmals mit von Hand nachgerechnet, danke

=)!

Ich habe festgestellt, dass die Verwirrung von meinem Taschenrechner stammt...

Dieser behauptet nämlich, dass:

{(e^{2 \cdot Π \cdot i})}^{- \frac{ln (3) \cdot i}{2 \cdot Π}} = e^{(2 \cdot Π \cdot i) \cdot (- \frac{ln (3) \cdot i}{2 \cdot Π})}

->false

Dabei soll der linke Term

= 1

sein, der rechte

= 3

.

Mache ich da einen Denkfehler, oder spinnt mein Taschenrechner? (wahrscheinlich das Erste... aber ich seh den Fehler irgendwie nicht..)

pleindespoir aktiv_icon

22:26 Uhr, 21.05.2009

Bei solchen Grundsatzüberlegungen ist jeder Taschenrechner so gut wie 40er Schmirgelpapier zum Hinternabwischen.

Man kann das Werkzeug nur Anwenden, wenn man weiss, was man damit erreichen will. Es ist wie wenn man um ein Bild aufzuhängen eine Dose Nägel an die Wand wirft und einen Hammer hinterherschmeisst...

Dein erster Ansatz war völlig richtig. Es gibt wohl keine reele Lösung. Als Du noch nichts von komplexen zahlen wusstest, gab es für einige quadratischen Gleichungen nun einfach auch "keine Lösung".

Mit komplexen Zahlen ergeben sich nun mal neue Möglichkeiten. Das bedeutet aber nicht, dass die Betrachtung in Bezug auf die reelen Zahlen hinfällig und falsch wären.

Die Erde ist schliesslich rund - egal ob man sie als Scheibe oder Kugel betrachtet...

anonymous

04:45 Uhr, 22.05.2009

das war ja quasi was ich meinte :-) wenn man sich

1^{x}

plottet sieht man sehr gut die reeelle lösung...

hat eigentlcih irgendjemand nen guten plotter für komplexe finktionen?!

pleindespoir aktiv_icon

00:39 Uhr, 23.05.2009

Von GeoGebra soll es eine Beta-Version geben, komplexe kann.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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