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1/x^2 auf (0,1] gleichmäßig stetig?

Universität / Fachhochschule

Stetigkeit

Tags: gleichmäßig stetig, Stetigkeit

Emilia200498 aktiv_icon

12:49 Uhr, 10.12.2017

Hallo,

habe bereits im Internet nach Hilfe gesucht, bin aber nicht direkt fündig geworden.
Es geht um folgende Aufgabe:

f (x) = \frac{1}{x^{2}}

auf dem Intervall

(0,1]

gleichmäßig stetig? Sei a element

(0,1),

ist

f (x)

auf

(a,1]

gleichmäßig stetig?

ich habe mir die Definition notiert und bin wie bei der normalen Stetigkeit vorgegangen. Meine Vermutung ist keine gleichmäßige Stetigkeit, aber ich komme nicht zu dem Punkt an dem es klick macht ob nun eine gleichmäßige Stetigkeit vorliegt.

Meine Ansätze:

| f (x) - f (x 0) | = | (\frac{1}{x^{2}}) - (\frac{1}{x 0^{2}}) |

umgeformt zu

: = \frac{| x 0 - x | \cdot | x 0 + x |}{| x^{2} \cdot x 0^{2} |}

nun habe ich versucht Abschätzungen zu finden, aber ich glaube diese sind nicht korrekt:

\frac{| x 0 + x |}{x^{2} \cdot x 0^{2}} < 0

und

\leq 2

nun komme ich leider mit Umformungen etc nicht weiter.

Ich hoffe auf Hilfe damit sich mir das mal ordentlich einprägt.

Danke im Voraus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

DrBoogie aktiv_icon

13:35 Uhr, 10.12.2017

Auf

(0, 1]

nicht gleichmäßig stetig.
Wäre

f

auf

(0, 1]

gleichmäßig stetig, so würde für

ε = 1

ein

δ > 0

existieren,
so dass aus

∣ x_{1} - x_{2} ∣ < δ

dann

∣ f (x_{1}) - f (x_{2}) ∣ < ε

folgen würde.
Nun aber, egal was für Wert

δ

hat, man kann immer ein

n

finden, so dass

\frac{1}{n} < δ

. Nehmen dann

x_{1} = \frac{1}{n}

und

x_{2} = \frac{1}{2 n}

. Es gilt jetzt

∣ x_{1} - x_{2} ∣ = \frac{1}{2 n} < \frac{1}{n} < δ

, aber

∣ f (x_{1}) - f (x_{2}) ∣ = 4 n^{2} - n^{2} = 3 n^{2} > 1

.

Auf

(a, 1]

mit

a > 0

gleichmäßig stetig, weil die Funktion auf

[a, 1]

stetig ist. Und stetig auf einem Kompakt => gleichmäßig stetig.

Emilia200498 aktiv_icon

14:58 Uhr, 10.12.2017

Kann ich das in meine umformung einfließen lassen oder ist das jetzt die allgemeine Erklärung? Stehe ein bisschen auf dem Schlauch.

Und bei ist es doch eigentlich nicht kompakt wenn

(a,1]

gilt oder?

DrBoogie aktiv_icon

15:04 Uhr, 10.12.2017

"Kann ich das in meine umformung einfließen lassen"

Ja, aber das habe ich schon getan. Bzw. ich habe das einfacher getan, denn Deine Umformung ist allgemein und allgemein braucht man sie gar nicht. Ich nehme

x_{1} = 1 / n

und

x_{2} = 1 / 2 n

und nur für diese Punkte brauche ich

∣ f (x_{1}) - f (x_{2}) ∣

.

"oder ist das jetzt die allgemeine Erklärung?"

Das ist eine komplette Lösung, wenn auch nicht sehr ausführlich.

"Und bei ist es doch eigentlich nicht kompakt wenn (a,1] gilt oder? "

Richtig. Daher nehme ich

[a, 1]

, was kompakt ist.
Und wenn

f

auf

[a, 1]

gleichmäßig stetig ist, dann trivialerweise auch auf

(a, 1]

Emilia200498 aktiv_icon

15:29 Uhr, 10.12.2017

Eine letzte nachfrage habe ich noch,
Wieso genau ist die eingesetzte formel für

| f (x 1) - f (x 2) |

unbedingt größer als 1? Und vielen dank für die Hilfe.

DrBoogie aktiv_icon

15:32 Uhr, 10.12.2017

Weil für diese konkrete

x_{1}

und

x_{2}

gilt

∣ f (x_{1}) - f (x_{2}) ∣ = 3 n^{2}

. Und das ist immer mindestens

3

. :-)

Emilia200498 aktiv_icon

15:37 Uhr, 10.12.2017

Kann ich das vorher festlegen? Weil aus dem intervall ist das doch nicht direkt abzuleiten, oder?

DrBoogie aktiv_icon

15:51 Uhr, 10.12.2017

Was das? Verstehe die Frage nicht.

Emilia200498 aktiv_icon

15:57 Uhr, 10.12.2017

Entschuldigung und danke für die Geduld.
Ich habe ein Problem mit diesem größer als

1,

hast du das gesagt, weil laut intervall auch die 3 auftreten kann? Weil es gibt ja auch werte die kleiner 1 sein könnten.

DrBoogie aktiv_icon

16:02 Uhr, 10.12.2017

"hast du das gesagt, weil laut intervall auch die 3 auftreten kann?"

Ich habe nichts dergleichen gesagt.
Ich verstehe echt nicht, was Dein Problem ist.
Ich nehme für beliebiges NATÜRLICHES

n

Punkte

x_{1} = 1 / n

und

x_{2} = 1 / 2 n

(sie liegen in

(0, 1]

, also alles OK). Und berechne dann

∣ f (x_{1}) - f (x_{2}) ∣

. Es kommt

3 n^{2}

raus. Und das ist definitiv immer größer als

1

, denn

n

ist eine natürliche Zahl, also

\geq 1

.

Oder hast Du das Problem damit, dass ich

ε = 1

vorher gewählt habe? Ich habe halt gesehen, dass es reicht. Man konnte auch

ε = 2

nehmen oder auch

ε = 0.7

, das ist egal.

Oder verstehst Du vielleicht indirekte Beweise an sich nicht?

Emilia200498 aktiv_icon

16:07 Uhr, 10.12.2017

Jetzt habe ich es tatsächlich verstanden. Hatte einen Denkfehler mit

f (x)

und

x

.

Vielen Dank für die Hilfe.:-)

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