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2. Ableitung CES-Funktion

Schüler Gymnasium, 9. Klassenstufe

Tags: Partielle Ableitung, Produktionsfunktion

Corlette08 aktiv_icon

10:34 Uhr, 27.03.2014

Hallo,

ich verstehe nicht, wie ich die folgende Funktion ein zweites mal partiell nach

K

ableiten soll:

Y = {(α \cdot K^{ρ} + (1 - α) \cdot {(A \cdot N)}^{ρ})}^{\frac{1}{ρ}}

Wir sollen zeigen, dass die Funktion positive, aber abnehmende Grenzerträge hat.

\frac{\partial Y}{\partial K} > 0

\frac{\partial^{2} Y}{\partial K^{2}} < 0

1. partielle Ableitung nach

K

\frac{\partial Y}{\partial K} = α \cdot ρ \cdot K^{ρ - 1} \cdot \frac{1}{ρ} \cdot {(α \cdot K^{ρ} + (1 - α) \cdot {(A \cdot N)}^{ρ})}^{\frac{1 - ρ}{ρ}} = α \cdot K^{ρ - 1} \cdot {(α \cdot K^{ρ} + (1 - α) \cdot {(A \cdot N)}^{ρ})}^{\frac{1 - ρ}{ρ}}

2. partielle Ableitungs nach

K

\frac{\partial^{2} Y}{\partial K^{2}}

= α \cdot (ρ - 1) \cdot K^{ρ - 2} \cdot {(α \cdot K^{ρ} + (1 - α) \cdot {(A \cdot N)}^{ρ})}^{\frac{1 - ρ}{ρ}}

+ α \cdot ρ \cdot K^{ρ - 1} \cdot (\frac{1 - ρ}{ρ}) \cdot {(α \cdot K^{ρ} + (1 - α) \cdot {(A \cdot N)}^{ρ})}^{\frac{1 - 2 ρ}{ρ}}

= α \cdot (ρ - 1) \cdot K^{ρ - 2} \cdot {(α \cdot K^{ρ} + (1 - α) \cdot {(A \cdot N)}^{ρ})}^{\frac{1 - ρ}{ρ}}

+ α \cdot K^{ρ - 1} \cdot (- 1) \cdot {(α \cdot K^{ρ} + (1 - α) \cdot {(A \cdot N)}^{ρ})}^{\frac{1 - 2 ρ}{ρ}}

und hier komme ich nicht mehr weiter.

Kann mir jemand helfen?
Da ich die Gleichung ziemlich verwirrend finde, würde ich mich freuen, wenn ihr mir Schritt für Schritt mit Rechenoption zeigt, wie irh vorgeht.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

DrBoogie aktiv_icon

11:06 Uhr, 27.03.2014

1. Ableitung richtig, 2. falsch - im zweiten Summand muss noch das "innere" K hoch

ρ

abgeleitet werden.
Am Ende kommt so etwas wie

α K^{ρ - 2} (ρ - 1) * (1 - K^{ρ})

mal die große Klammer hoch

(1 - ρ) / ρ

. Wenn

K > 1

und

ρ > 1

, wird das tatsächlich negativ.

rundblick aktiv_icon

11:12 Uhr, 27.03.2014

\to

bei der zweiten Ableitung hast du beim zweiten Summanden
den Faktor, der sich aus der inneren Ableitung (Kettenregel

!)

ergibt, vergessen .

und vielleicht noch ein Tipp:

um nicht soviel "Ballast" mitzuschleppen, wäre es vielleicht
sinnvoll, die für die Ableitung nicht relevanten Teile abzukürzen
damit die Rechnung übersichtlicher darstellbar wird ..und
erst am Schluss wieder "rücksubstituieren" ..
meint dies:

dein Term sieht im Prinzip doch so aus:

y = {(a x^{m} + b)}^{\frac{1}{m}}

mit dem Auftrag: berechne die zweite Ableitung von

y

nach

x .

.

Und dazu:
"..Am Ende kommt so etwas wie ..."

\to

das solltest du, Herr "DrB" , halt nochmal überprüfen
es ist vielleicht immer noch das falsche "Ende" ?!

DrBoogie aktiv_icon

13:38 Uhr, 28.03.2014

Ja, meine Antwort stimmt nicht.

DrBoogie aktiv_icon

23:06 Uhr, 28.03.2014

Damit nicht immer derselbe monströse Ausdruck komplett aufgeschrieben werden muss,
führe ich die Bezeichnung

T := α K^{ρ} + (1 - α) \cdot (A \cdot N)^{ρ}

.
Dann gilt (wie es bei Dir auch steht)

Y ʹ = α \cdot K^{ρ - 1} \cdot T^{\frac{1 - ρ}{ρ}}

Dann die zweite Ableitung:

Y ʺ = α \cdot (ρ - 1) \cdot K^{ρ - 2} \cdot T^{\frac{1 - ρ}{ρ}} + α \cdot K^{ρ - 1} \cdot \frac{1 - ρ}{ρ} α \cdot ρ \cdot K^{ρ - 1} \cdot T^{\frac{1 - 2 ρ}{ρ}} = α \cdot K^{ρ - 2} \cdot (ρ - 1) \cdot T^{\frac{1 - 2 ρ}{ρ}} \cdot (T - α \cdot K^{ρ})

.
Also ist

Y ʺ > 0

genau dann wenn

T > α \cdot K^{ρ}

gilt, was
gleichbedeutend zu

(1 - α) \cdot (A \cdot N)^{ρ} > 0

ist.

Hoffentlich hilft das.

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