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2. Ableitung nötig?
Schüler
Tags: denke nicht!
 
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Hallo, ich habe hier zwei Aufgaben, in denen jeweils Extrema berechnet werden müssen und bereits in den Aufgabenstellungen steht, dass es sich um Extrema handelt. www.abiturloesung.de/abitur/2012/Infinitesimalrechnung/II/3700 und www.abiturloesung.de/abitur/2012/Infinitesimalrechnung/II/3698 Die Lösung beweist das Extremum noch mittels der 2. Ableitung, doch mir stellt sich die Frage: wieso? Es steht bereits in der Aufgabensstellung, dass spezifische Extrema vorliegen. Wieso soll ich das noch beweisen? Würde Nullstelle der 1. Ableitung ein Wendepunkt sein, so ließe sich die Aufgabe ja gar nicht rechnen und zusätzlich steht die Information "Extremum" ja eh schon in der Aufgabenstellung. Ist es also wirklcih nötig, die 2. Ableitung zu bilden? Viele Grüße und Danke :-) |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Ableitung (Mathematischer Grundbegriff) Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff) Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff) Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff) Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff) Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff) |
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Im Falle der ersten Aufgabe magst du vielleicht "formaljuristisch" Recht haben und es stellt sich nur die Frage, ob du dich im Falle des Falles beim Abitur hier auf eine Diskussion mit dem Prüfer einlassen möchtest. Abgesehen davon müsstest du, abgesehen davon, dass du die Stelle mit waagerechter Tangente ermittelst, auch noch begründen, warum dass dann auch tatsächlich die in der Angabe erwähnte Extremstelle sein muss - zB könntest du da mit der Stetigkeit der Funktion argumentieren. Wäre die Funktion nicht stetig und hätte zB eine Sprungstelle, dann könnte deine berechnete Stelle nur ein Terassenpunkt sein und der Extremwert an der Sprungstelle (ohne dass dort die erste Ableitung Null wäre) Im zweiten Beispiel kannst du dich aber nicht so rauswinden, denn da soll ja der behauptete Sachverhalt gezeigt werden. Also musst du auch zeigen, dass es sich bei der Stelle um einen Extrempunkt handelt. Um einen weiteren Extrempunkt auszuschließen reicht es im Grunde aber nicht, festzustellen, dass die erste Ableitung nur diese eine reelle Nullstelle hat, sondern man müsste wieder zusätzlich mit der Stetigkeit argumentieren. So gesehen die ist Behauptung in der Musterlösung "Der Graph der Funktion hat nur an der Stelle eine mögliche Extremstelle." etwas voreilig ;-) |
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"Die Lösung beweist das Extremum noch mittels der 2. Ableitung, " Du übersiehst etwas Wesentliches: Die Lösung beweist mit der zweiten Ableitung, dass es sich tatsächlich um eine Stelle des MAXIMALEN (und nicht etwa des minimalen) Abstands handelt. Der Aufgabentext schließt ja nicht aus, dass es im Intervall auch noch eine Stelle mit minimalem Abstand geben kann. Du könntest allerdings tatsächlich so argmentieren: Weil in dem Intervall nur eine Stelle existiert mit der Ableitung 0 UND weil es laut Aufgabentext eine Maximumstelle im Intervall gibt UND es deshalb nicht auch noch eine Minimumstelle geben kann UND weil die Intervallgrenzen selbst nicht zum Intervall gehören und es deshalb keine Randextrema geben kann... Aber bevor du diesen Roman geschrieben hast, hast du auch mit der zweiten Ableitung die Art des Extremums nachgewiesen. |
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Du könntest allerdings tatsächlich so argmentieren: . Wie oben schon ausgeführt wäre trotz des ganzen Romans dieser Kurvenverlauf immer noch nicht ausgeschlossen  |
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Ok, got it! Danke Leute. :-D) Ich dachte nur gehört/gelesen zu haben, wenn in der Aufgabenstellung schon von Extremum die Rede ist, ohne dem Verweis darauf, dass dieses in seiner Eigenschaft noch bewiesen werden muss, so wäre ein weiterer Beweis hinfällig. Aber gut, ich weiß nun bescheid ;-) |
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