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2. Ableitung von Quotientenregel

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

lea1410 aktiv_icon

14:24 Uhr, 21.02.2015

Kann mir hier jemand weiterhelfen? Ich verstehe die vorgegebene Lösung nicht.

g (t) = \frac{t^{2}}{t - 1}

Die Lösung schreibt vor:

g' (t) = \frac{2 t (t - 1) - t^{2}}{{(t - 1)}^{2}} = \frac{t^{2} - 2 t}{{(t - 1)}^{2}}

Hier verstehe ich nicht, dass sie

2 t (t - 1) = - 2 t

gesetzt haben. Ist das nicht eigentlich

2 t^{2} - 2 t

g'' (t) = \frac{2}{{(t - 1)}^{3}}

Hier weiß ich nicht, wie sie auf die zwei im Zähler gekommen sind.

Weiß das jemand?

DAnke!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Respon

14:29 Uhr, 21.02.2015

Die Klammern wurden ausmultipliziert und reduziert.

2 \cdot t \cdot (t - 1) - t^{2} = 2 \cdot t^{2} - 2 \cdot t - t^{2} = t^{2} - 2 \cdot t

lea1410 aktiv_icon

14:53 Uhr, 21.02.2015

Ah, danke das habe ich echt übersehen, das

t^{2}

wurde sozusagen mit vereinfacht. Und für die 2. Ableitung? Da bin ich leider immer noch nicht hintergekommen.

Atlantik aktiv_icon

15:34 Uhr, 21.02.2015

[\frac{t^{2}}{t - 1}]

= \frac{2 t (t - 1) - t^{2} \cdot 1}{{(t - 1)}^{2}} = \frac{2 t^{2} - 2 t - t^{2}}{{(t - 1)}^{2}} = \frac{t^{2} - 2 t}{{(t - 1)}^{2}}

[\frac{t^{2} - 2 t}{{(t - 1)}^{2}}]

= \frac{(2 t - 2) \cdot {(t - 1)}^{2} - (t^{2} - 2 t) \cdot 2 \cdot {(t - 1)}^{1} \cdot 1}{{(t - 1)}^{4}} = \frac{(2 t - 2) (t - 1) - 2 \cdot (t^{2} - 2 t)}{{(t - 1)}^{3}} =

= \frac{2 t^{2} - 2 t - 2 t + 2 - 2 t^{2} + 4 t}{{(t - 1)}^{3}} = \frac{2}{{(t - 1)}^{3}}

mfG

Atlantik

Newbie13 aktiv_icon

11:39 Uhr, 10.05.2015

Hallo Atlantik,

könntest du den Zwischenschritt für die zweite Ableitung nochmal näher erklären? Wie kürzt man die

(t - 1)

so weg, dass im Nenner der Exponent nur von 4 auf 3 reduziert wird. Bei mir würde er sich auf

{(t - 1)}^{2}

reduzieren, da ja im vorderen und hinteren Term heweils

(t - 1)

vorkommt.

Vielen Dank und viele Grüße

Matlog aktiv_icon

13:39 Uhr, 10.05.2015

Wenn man Deiner Erklärung folgt, dann hast Du zwei Mal aus einer Summe (oder hier aus einer Differenz) gekürzt!
Du musst im Zähler

(t - 1)

ausklammern und dann darf man das erst kürzen!
(Atlantik hat also alles richtig gemacht.)

Newbie13 aktiv_icon

14:04 Uhr, 10.05.2015

Ah ok. Klammer ich dann das

(t - 1)

für den gesamten Ausdruck aus? Stehe gerade etwas auf dem Schlauch

: (

Matlog aktiv_icon

15:47 Uhr, 10.05.2015

Ja, wenn man kürzen will, dann muss man aus dem gesamten Zähler das

(t - 1)

ausklammern.
Der erste Summand des Zählers ist

(2 t - 2) \cdot {(t - 1)}^{2},

der zweite

(t^{2} - 2 t) \cdot 2 \cdot (t - 1)

.
In beiden Summanden kommt der Faktor

(t - 1)

vor, also kann man diesen ausklammern und anschließend kürzen.

Das kann man übrigens immer anwenden, wenn man die zweite Ableitung einer solchen gebrochenrationalen Funktion berechnet.

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