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2 Aufgaben Satz über implizite Funktionen

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Funktionen

Stetigkeit

Tags: Differentiation, Funktion, Stetigkeit

henny aktiv_icon

17:45 Uhr, 26.06.2010

Hallo ich hab 2 Aufgaben zum Satz über implizite Funktionen bei denen ich nicht weiterkomme. War da auch krank und als Informatikstudent muss ich keine lineare Algebra belegen, da fehlen mir dann auch manchmal die Mittel.

1. Zeigen Sie, dass es eine glatte Funktion

g : (0, 1) \times (0, 1) \to ℝ

gibt, so dass f(x,y,g(x,y))=0. Dabei ist

f (x, y, z) = x^{z} + y^{z} - 1

.
Gut dann hab ich also erstmal überprüft ob

D_{z} f (x, y, z)

invertierbar ist.
Also

D_{z} f (x, y, z) = x^{z} l n (x) + y^{z} l n (y)

und dann sollte das invertierbar sein außer für(0,0,z) bzw. (1,1,z) denn an den Stellen ist das ganze 0. Schön und gut ich kann also die Funktion nach z auflösen und da haperts ich krieg das halt nicht nach z aufgelöst was bei einer glatten Funktion ja möglich sein sollte.
Edit:

x, y \in (0, 1)

2.Stellen Sie fest, ob die Gleichung f(x,y)=0 (f(x,y)=

x^{5} + 2 x^{3} y - 5 x^{2} y^{4} + 3 x + y^{5} - 2

) in diesem Punkt nach x bzw. y auflösbar ist und bestimmen Sie gegebenfalls die Ableitung der Funktion(en) in diesem Punkt.
Selbe sache ich berechne

D_{x} f (x, y) = 5 x^{4} + 6 x^{2} y - 10 x y^{4} + 3

und

D_{y} f (x, y) = 5 y^{4} - 20 y^{3} x^{2} + 2 x^{3}

, wieder Invertierbarkeit überprüfen, dazu muss ich ja die Nullstellen bestimmen und ja da haperts dann auch wieder, gibt es dafür eine Formel oder lässt sich die Invertierbarkeit da anders feststellen?

Edit: Stellt Latex die Exponenten nicht richtig da oder ist das nur mein Chromium-Browser?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

hagman aktiv_icon

19:45 Uhr, 26.06.2010

Für den Satz über implizite Funktionen hätest du auch lieber mal bei Analysis reinschauen müssen, nicht LA. Allerdings setzt Analysis natürlich oft LA voraus (eigentlich setzt alles oft LA voraus; wie kann man denn Informatik ohne LA betreiben?)

Zum Glück ist hier allerdings die auf Invertierbarkeit zu prüfende Matrix eine

1 \times 1

Matrix - das geht auch ohne LA. :-)
Wegen

0 < x < y

und

0 < y < 1

sind

x^{z}

und

y^{z}

positiv,

ln (x)

und

ln (y)

negativ, also stets

x^{z} ln (x)

+y^zln(y) negativ (also

\neq 0

und somit invertierbar).
Der Satz über implizite Funktionen liefert jetzt immerhin:
Wenn

f (x_{0}, y_{0}, z_{0}) = 0,

dann gibt es eine Umgebung

U_{0}

von

(x_{0}, y_{0}) \in {(0,1)}^{2}

und eine glatte Funktion

g_{0} : U_{0} \to ℝ

mit

f (x, y, g_{0} (x, y)) = 0

und

g_{0} (x_{0}, y_{0}) = z_{0}

.
Das scheint kaum zu helfen, denn erstens müssten wir so ein

(x_{0}, y_{0}, z_{0})

erst einmal finden und zweitens wollen wir eine auf ganz

{(0,1)}^{2}

definierte Funktion.

Zum Glück sieht man aber:
Zu festem

(x, y) \in {(0,1)}^{2}

gilt: Die Abbildung

ℝ \to ℝ, z \mapsto f (x, y, z)

ist streng monoton fallend (negative Ableitug wurde oben schon gezeigt); es ist

lim_{z \to - \infty} f (x, y, z) = + \infty

und

lim_{z \to + \infty} f (x, y, z) = - \infty

.
Das bedeutet: Zu jedem

(x, y) \in {(0,1)}^{2}

existiert genau ein

z

mit

f (x, y, z) = 0

.
Es gibt also auf jeden Fall genau eine Abbildung

g : {(0,1)}^{2} \to ℝ

mit

f (x, y, g (x, y)) = 0

für alle

(x, y) \in {(0,1)}^{2}

.
Nur braucht diese Abbildung überhaupt nicht glatt zu sein.

Aber: Wählt man ein beliebiges

(x_{0}, y_{0}) \in {(0,1)}^{2}

und

z_{0} := g (x_{0}, y_{0}),

so haben wir oben eine Umgebung

U_{0}

und eine glatte Funktion

g_{0}

auf

U_{0}

gefunden. Da

g

eindeutig bestimmt war, muss

g

auf

U

mit

g_{0}

übereinstimmen.
Also ist

g

an der Stelle

(x_{0}, y_{0})

glatt.
Also ist

g

insgesamt glatt.

(Hier sehen die Formel ok aus)

henny aktiv_icon

20:20 Uhr, 26.06.2010

Jetzt versteh ich warum ich in einer anderen Teilaufgabe zeigen sollte, dass es zu jedem

x_{0}, y_{0}

genau ein

z_{0}

gibt, hätt ich wohl erwähnen sollen.
Da ich jetzt allerdings noch den grad(g)(x,y) und

g r a d (g) (\frac{1}{3}, \frac{2}{3})

berechnen soll, frag ich mich wie ich das anstell ohne g(x,y) zu kennen, das müsste dann ja

D g (x, y) = - D_{z} f (x, y, g (x, y))^{- 1} * D_{x y} f (x, y, g (x, y))

sein, soll ich da jetzt formal einfach g(x,y) einsetzen?
Dann hätte ich ja

- (x^{g (x, y)} * l n (x) + y^{g (x, y)} * l n (y))^{- 1} * (g (x, y) * x^{g (x, y) - 1}, g (x, y) * y^{g (x, y) - 1})

, für

(\frac{1}{3}, \frac{2}{3})

ist

g (\frac{1}{3}, \frac{2}{3}) = 1

, da kann man das ja dann einsetzen,

- (\frac{1}{3} * l n (\frac{1}{3}) + \frac{2}{3} * l n (\frac{2}{3})^{- 1} * (1, 1)

wenn ich jetzt richtig gerechnet hab.
Ideen bei der anderen Aufgabe?

Übrigens betreiben Informatiker LA allerdings in einer eigenen Vorlesung, auf jedenfall an meiner Uni und da kümmert man sich nicht um alles.

Edit: Hier noch die andere Teilaufgabe von 2) Finden Sie ein Paar (x,y) mit f(x,y)=0. Hinweis: Raten.
Ist z.b. (1,1) d.h. in diesem Punkte ist der Satz über implizite Funktionen anwendbar. Lässt sich damit was anfangen?

Bei Aufgabe 2 geht es ja laut Satz um die Invertierbarkeit von

D_{x} f (x, y)

und

D_{y} f (x, y)

, da das dann ja Funktionen sind die von x bzw y abhängen kann ich für die Invertierbarkeit nicht prüfen ob diese Funktionen injektiv sind bzw. in welchen Intervallen sie injektiv sind und mir dann so ein Intervall raussuchen? Ich kann mir ja einfach monotone Abschnitte der Funktion raussuchen, da ist das ganze dann injektiv, also invertierbar. Ich frag mich nämlich immernoch wie ich sonst feststellen ob

D_{x} f (x, y)

und

D_{y} f (x, y)

invertierbar sind.

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