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Brauche ein paar Tipps, symmetrische Bilinearform

Universität / Fachhochschule

07:53 Uhr, 13.06.2018

Wir sind auf einem endlich dimensionalen VR, die Biliniearform

B

sei außerdem nicht ausgeartet.
1.Zeige die Existenz zweier Vektoren

a b

element

V

mit

B (a, b) = 1

.
Da wäre mein Ansatz das

a b

existieren mit

B (a, b)

ungleich 0 wegen der nicht ausgeartetheit, die dann normieren.
2.Definiere durch den spann dieser Vektoren den Unterraum

u

. Zeige

U

direkte summe

U

orthogonal gleich

V

und

B

auf der einschränkung

U

orth ×U orth sei nicht ausgeartet.
Da hab ich noch keinen richtigen Ansatz, ich weis aber a ungleich

b

.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

10:55 Uhr, 14.06.2018

Hallo,
1. hast du richtig gemacht. Ich schlage aber vor, die Vektoren

a, b

lieber

u_{1}, u_{2}

zu nennen. Was du konkret unter "Normierung" verstehst,
solltest du formal darstellen, also etwa so:
seien

{\tilde{u}}_{1}, {\tilde{u}}_{2}

mit

B ({\tilde{u}}_{1}, {\tilde{u}}_{2}) \neq 0

wegen der Nichausgeartetheit gefunden, dann setze

u_{1} = \dots, u_{2} = \dots

.

2. Sei nun

U = s p a n (u_{1}, u_{2})

.
Wir wollen zeigen, dass

V = U \oplus U^{⊥}

ist.
Sei dazu

v \in V

beliebig. Wir ziehen von

v

einen
"geeigneten" Vektor aus

U

ab, so dass die Differenz

w

U^{⊥}

liegt. Nach viel Probiererei kommt man auf

w = v + B (v, u_{1}) u_{2} - B (v, u_{2}) u_{1}

.
Man zeigt nun, dass

w \in U^{⊥}

ist, und damit

V = U + U^{⊥}

gilt.
Schließlich zeigt man noch

U \cap U^{⊥} = 0

.

Gruß ermanus

11:04 Uhr, 14.06.2018

Wieso denn nun plötzlich symmetrische Bilinearform?
Eben gings doch noch um eine alternierende Bilinearform ??????

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