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Brauche ein paar Tipps, symmetrische Bilinearform

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Vektorräume

Tags: Linear Abbildung, Vektorraum

 
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Tomathensuppe

Tomathensuppe aktiv_icon

07:53 Uhr, 13.06.2018

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Wir sind auf einem endlich dimensionalen VR, die Biliniearform B sei außerdem nicht ausgeartet.
1.Zeige die Existenz zweier Vektoren ab element V mit B(a,b)=1.
Da wäre mein Ansatz das ab existieren mit B(a,b) ungleich 0 wegen der nicht ausgeartetheit, die dann normieren.
2.Definiere durch den spann dieser Vektoren den Unterraum u. Zeige U direkte summe U orthogonal gleich V und B auf der einschränkung U orth ×U orth sei nicht ausgeartet.
Da hab ich noch keinen richtigen Ansatz, ich weis aber a ungleich b.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

10:55 Uhr, 14.06.2018

Antworten
Hallo,
1. hast du richtig gemacht. Ich schlage aber vor, die Vektoren a,b
lieber u1,u2 zu nennen. Was du konkret unter "Normierung" verstehst,
solltest du formal darstellen, also etwa so:
seien u~1,u~2 mit B(u~1,u~2)0
wegen der Nichausgeartetheit gefunden, dann setze u1=,u2=.

2. Sei nun U=span(u1,u2).
Wir wollen zeigen, dass V=UU ist.
Sei dazu vV beliebig. Wir ziehen von v einen
"geeigneten" Vektor aus U ab, so dass die Differenz w in U
liegt. Nach viel Probiererei kommt man auf
w=v+B(v,u1)u2-B(v,u2)u1.
Man zeigt nun, dass wU ist, und damit V=U+U gilt.
Schließlich zeigt man noch UU=0.

Gruß ermanus


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ermanus

ermanus aktiv_icon

11:04 Uhr, 14.06.2018

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Wieso denn nun plötzlich symmetrische Bilinearform?
Eben gings doch noch um eine alternierende Bilinearform ??????