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2 Gleichungen, 3 Unbekannte

Schüler Gymnasium, 8. Klassenstufe

Tags: Gleichungen, unbekannt

RobertOB aktiv_icon

22:58 Uhr, 14.11.2016

Hallo zusammen,

folgende Aufgabe bereitet mir Kopfzerbrechen:

Bauer

B

geht zum Viehmarkt, um neue Tiere zu kaufen.
Er hat

100

Taler und will dafür

100

Tiere kaufen.
Es soll mind. 1 Kuh, mind. 1 Schaf und mind. 1 Huhn sein.
1 Kuh kostet

10

Taler, 1 Schaf 1 Taler und für 1 Taler erhält man 8 Hühner.

Wie viel Tiere muss

B

kaufen, damit er genau

100

Tiere für

100

Taler erhält?

Mein Lehrer sagt, dass Ergebnis lautet: / Kühe,

21

Schafe und

72

Hühner

Was ich schon geschafft habe, sind die Gleichungen:
(1)

K + S + H = 100

(2)

10 K + S + \frac{1}{8} H = 100

Aber wie komme ich auf das Ergebnis???

Schon mal vielen Dank für eure Hilfe!!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Stephan4

23:27 Uhr, 14.11.2016

Gleichung

(2) - (1)

mal

8,

dann

+ \frac{7}{8} S :

72 K = 7 S

Und jetzt kommt der Trick: Nur ganzzahlige Lösungen sind zulässig.

:-)

ledum aktiv_icon

01:52 Uhr, 15.11.2016

Hallo
du weisst ja ausserdem, dass

K

und

S

ganz und

H

ein vielfaches von 8 sein muss.
und dann musst du probier,

K < 10,

man sieht auch direkt

K < 9

und

K < 8

da man sonst nur

10

oder

20

Taler für 90Tiere hätte ,also 1Schaf und

72 H

bei

K = 9

für

10 T

also keine

90

. ebenso bei

8 K

und restlichen

20

Taler entweder zu viele Hühner oder zu wenig Tiere
du kannst auch rechnen

8 k

dann

S + H = 98, S + \frac{H}{8} = 80

daraus

\frac{7}{8} H = 18 H = 18 \cdot \frac{8}{7}

nicht ganz
dann

K = 7

dann bleibt

S + H = 93, S + \frac{H}{8} = 30

und jetzt kannst du

H

ausrechnen, wenn es nicht ganz rauskäme musst du

K = 6

probieren, aber es klappt ja.
bei solchen ganzzahlen Gleichungen muss man schon ein bissel probieren.
anderer Weg man fängt mit

10

Kühen an und tauscht sie nach und nach in

S

um, diese wieder in

1 K = 10 S = 80 H, 2 K = 20 S = 160 H

3 K = 30 S = 20 S + 80 H

insgesamt

107

also noch

8 H

für

1 S

umgetauscht, und man hat

10 - 3

Kühe

21

Schafe und

72

Hühner.
Gruß ledum

Roman-22

15:52 Uhr, 15.11.2016

Die Gleichungen hast du ja richtig aufgestellt, was verbleibt ist sinnvolles systematisches Probieren, oder man überlegt sich was Geschicktes. In jedem Fall wird man verwenden, dass die jeweilige Tieranzahl ja ganzzahlig sein muss.

Ich würde mich da an die Kühe halten, da deren Anzahl im Bereich

1 \leq K \leq 9

liegen muss, da ja von jeder Sorte Tier mindestens 1 vorhanden sein muss und man daher auch nicht die ganzen

100

Taler für Kühe ausgeben darf.

Ich multipliziere deine zweite Gleichung mal mit 8

8 \cdot (2) : 80 K + 8 S + H = 800 (3)

(1) : K + S + H = 100 (4)

und subtrahiere nun die beiden Gleichungen:

(3) - (4) : 79 K + 7 S = 700

oder umgestellt

79 K = 700 - 7 S

79 K = 7 \cdot (100 - S)

Da steht nun

(u . a .),

dass

79 K

ein Vielfaches von 7 sein muss. Da

79

nicht durch 7 teilbar ist, muss offenbar

K

durch 7 teilbar sein und da bleibt mit

1 \leq K \leq 9

nur mehr

K = 7

übrig.

Wenn du das nun in

(3)

und

(4)

einsetzt und umstellst, erhältst du ein einfaches Gleichungssystem für

S

und

H

8 S + H = 240

S + H = 93

welches du nach einer Methode deiner Wahl lösen kannst. Ich würde die beiden Gleichungen wieder voneinander subtrahieren, um

S

zu berechnen.

Letztlich ist es nun doch ganz ohne Probieren gegangen.

R

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