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2-facher Münzwurf, Unabhängigkeit Zufallsvariablen

Universität / Fachhochschule

Zufallsvariablen

Tags: Darstellung, Unabhängigkeit, Zufallsvariablen

Lawliet aktiv_icon

17:33 Uhr, 22.05.2022

Hallo,

wenn ich einen 2 fachen Münzwurf betrachte und folgende Zufallsvariablen definiere:

X =

"Häufigkeit Wappen"

Y =

"Häufigkeit Zahl"

V = 0

falls beim 1. Wurf Wappen auftritt, 1 falls beim 1. Wurf Zahl auftritt

W = | X - Y |

Wie überprüfe ich dann

X, V

bzw

X, W

bzw

V, W

auf Unabhängigkeit?

Mir ist bewusst, dass ich überprüfen muss, ob

P (X \cap V) = P (X) \cdot P (V)

gilt, gleiches gilt auch für die anderen Variablen zu überprüfen.
Jedoch ist mir nicht ganz klar wie die Mengen bzw. die Wahrscheinlichkeiten dieser aussehen.
Meine Ideen:

X = {0,1,2}

mit 0 entspricht

(Z Z), 1

entspricht

(Z W), (W Z)

und 2 entspricht

(W W)

Y = {0,1,2}

analog mit

(Z Z)

und

(W W)

vertauscht
Bei

V

bin ich mir unsicher, die Fälle beschränken sich ja auf
0 für

(W Z)

oder

(W W)

bzw. 1 für

(Z W)

oder

(Z Z)

W = | X - Y | = {0,1,2}

mit

0 = (X = 0, Y = 0), (X = 1, Y = 1) (X = 2, Y = 2),

1 = (X = 2, Y = 1), (X = 1, Y = 2), (X = 1, Y = 0), (X = 0, Y = 1),

2 = (X = 2, Y = 0), (X = 0, Y = 2)

Das anschließende berechnen bereitet mir ein paar Probleme.

Vielen Dank im Voraus.

MfG Lawliet

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pivot aktiv_icon

18:16 Uhr, 22.05.2022

Hallo,

z.B. hier

>>

W = ∣ X - Y ∣ = 0, 1, 2

mit

0 = (X = 0, Y = 0), (X = 1, Y = 1) (X = 2, Y = 2),

1 = (X = 2, Y = 1), (X = 1, Y = 2), (X = 1, Y = 0), (X = 0, Y = 1),

2 = (X = 2, Y = 0), (X = 0, Y = 2)

(X = 0, Y = 0)

ist ein unmögliches Ereignis. Die Summe von

X

und

Y

muss immer 2 betragen.

Es ist

P (W = 0) = P (X = 1, Y = 1) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

und

P (W = 2) = \frac{1}{2}

Soweit nachvollziehbar?

Gruß
pivot

Lawliet aktiv_icon

18:42 Uhr, 22.05.2022

Hoppla, mein Fehler, ja doch das kann ich nachvollziehen.
Was ist jedoch mit meinen anderen Mengen?
Für

X :

P (X = 0 (, Y = 2)) = \frac{1}{4}

P (X = 1 (, Y = 1)) = \frac{1}{2}

P (X = 2 (, Y = 0)) = \frac{1}{4}

?

Für

V :

P (V = 0) = \frac{1}{2}

P (V = 1) = \frac{1}{2}

?

Für die Unabhängigkeitsrechnung komme ich hier nach trotzdem nicht weiter...

X

und

W

enthalten die gleichen Elemente?

W W, Z Z, W Z, Z W

was ja wiederum alle möglichen Ereignisse sind?

pivot aktiv_icon

19:29 Uhr, 22.05.2022

Die Wahrscheinlichkeiten für X,Y sind richtig.

Die Wahrscheinlichkeiten für

V

sind richtig.

z.B. ist

P (W = 0) = \frac{1}{2}

und

P (X = 1) = \frac{1}{2}

Ist jetzt

P (W = 0 \cap X = 1) = P (W = 0) \cdot P (X = 1) = \frac{1}{4}

Die relevanten Wahrscheinlichkeiten für W sind

P (X = 1, Y = 1, W = 0) = \frac{1}{2}, P (X = 2, Y = 0, W = 2) = \frac{1}{4}, P (X = 0, Y = 2, W = 2) = \frac{1}{4}

Was ist jetzt

P (W = 0 \cap X = 1) = ?

Und sind dann

X

und

W

unabhängig?

Bin jetzt ca. bis 21:30 Uhr außer Haus.

Lawliet aktiv_icon

19:57 Uhr, 22.05.2022

P (W = 0 \cap X = 1) = \frac{1}{2}

?
Da die sie sich die Elemente teilen?

P (X = 1) = P (W = 0) = P (X = 1 \cap W = 0) = \frac{1}{2} \neq \frac{1}{4} = P (X = 1) \cdot P (W = 0)

?
Danach wären sie ja folglich nicht abhängig, sofern das stimmt.

Kartoffelchipsman aktiv_icon

20:18 Uhr, 22.05.2022

Dem Szenario entsprechend sei

Ω = {0,1}^{2}

mit

P (ω) = \frac{1}{4}

für alle

ω \in Ω

X, Y : {0,1}^{2} \to {0,1,2}, V : {0,1}^{2} \to {0,1}, W : {0,1}^{2} \to {0,2},

wobei in

ω \in Ω 1

Wappen und 0 Zahl repräsentiere.

Mithilfe einer "Ergebnis - Ereignis - Matrix"

(\begin{matrix} ω & X (ω) & Y (ω) & V (ω) & W (ω) \\ (0,0) & 0 & 2 & 1 & 2 \\ (1,0) & 1 & 1 & 0 & 0 \\ (0,1) & 1 & 1 & 1 & 0 \\ (1,1) & 2 & 0 & 0 & 2 \end{matrix})

kann man nun angeben:

X

und

V

sind nicht unabhängig, denn

z . B

P (X = 2) \cdot P (V = 1) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} \neq 0 = P ((X = 2) \cap (V = 1))

X

und

W

sind nicht unabhängig, denn

z . B

P (X = 2) \cdot P (W = 2) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} \neq \frac{1}{4} = P ((X = 2) \cap (W = 2))

V

und

W

sind unabhängig, denn

P (V = 0) \cdot P (W = 0) = P (V = 1) \cdot P (W = 0) = P (V = 0) \cdot P (W = 2) = P (V = 1) \cdot P (W = 2)

= \frac{1}{4}

= P ((V = 0) \cap (W = 0)) = P ((V = 1) \cap (W = 0)) = P ((V = 0) \cap (W = 2)) = P ((V = 1) \cap (W = 2))

.

( Beachte hierbei, dass

z . B

P (X = 2) := P ({ω \in Ω : X (ω) = 2})

P ((X = 2) \cap (V = 1)) := P ({ω \in Ω : X (ω) = 2, V (ω) = 1})

und analoges für die anderen Rechnungen. )

Lawliet aktiv_icon

20:20 Uhr, 22.05.2022

Für

V

wären relevant:

P (V = 0, X = 1, Y = 1) = \frac{1}{4}

P (V = 0, X = 2, Y = 0) = \frac{1}{4}

P (V = 1, Y = 1, X = 1) = \frac{1}{4}

P (V = 1, Y = 2, X = 0) = \frac{1}{4}

Für

X, V :

P (V = 1 \cap X = 1) = P (X = 1) \cdot P (V = 1) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

P (V = 1 \cap X = 0) = \frac{1}{4} \neq P (X = 0) \cdot P (V = 1) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}

Und somit nicht unabhängig..?

pivot aktiv_icon

21:45 Uhr, 22.05.2022

Ich mache jetzt mal beim Beitrag um 19:57 Uhr weiter.
>>Danach wären sie ja folglich nicht abhängig, sofern das stimmt.<<
Ja, das ist richtig.

Die Argumentation mit der Teilung ist etwas fragwürdig, wenn ich das richtig verstanden habe. Es gilt

P (W = 0 \cap X = 1 \cap Y = 0) + P (W = 0 \cap X = 1 \cap Y = 1) + P (W = 0 \cap X = 1 \cap Y = 2) = P (W = 0 \cap X = 1)

bzw.

\sum_{y = 0}^{2} P (W = 0 \cap X = 1 \cap Y = y) = P (W = 0 \cap X = 1)

P (W = 0 \cap X = 1 \cap Y = 0) = P (W = 0 \cap X = 1 \cap Y = 2) = 0

folgt, dass

P (W = 0 \cap X = 1 \cap Y = 1) = \frac{1}{2} = P (W = 0 \cap X = 1)

Kartoffelchipsman aktiv_icon

18:55 Uhr, 23.05.2022

Einen formalen Schnitzer bei mir zuvor möchte ich korrigieren:

Anstatt

P (ω) = \frac{1}{4}

für alle

ω \in Ω

sollte dort

P ({ω}) = \frac{1}{4}

für alle

ω \in Ω

stehen,

denn

P : P o t (Ω) \to [0,1], A \mapsto \frac{| A |}{4}

bildet Teilmengen der Potenzmenge von

Ω

(hier

P o t (Ω)

in Ermangelung eines prachtvollen Schnörkel-P) ab,

z . B

P (X \leq 1) = P ({(0,0), (1,0), (0,1)}) = \frac{3}{4}

oder einen Teil der Rechnung zur Unabhängigkeit von

V

und

W

mal ausführlich:

P (V = 0) \cdot P (W = 0) = P ({(1,0), (1,1)}) \cdot P ({(1,0), (0,1)}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}

= \frac{1}{4} = P ({(1,0)}) = P ((V = 0) \cap (W = 0))

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