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2-facher Münzwurf, Unabhängigkeit Zufallsvariablen

Universität / Fachhochschule

Zufallsvariablen

Tags: Darstellung, Unabhängigkeit, Zufallsvariablen

 
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Lawliet

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17:33 Uhr, 22.05.2022

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Hallo,

wenn ich einen 2 fachen Münzwurf betrachte und folgende Zufallsvariablen definiere:
X= "Häufigkeit Wappen"
Y= "Häufigkeit Zahl"
V=0 falls beim 1. Wurf Wappen auftritt, 1 falls beim 1. Wurf Zahl auftritt
W=|X-Y|

Wie überprüfe ich dann X,V bzw X,W bzw V,W auf Unabhängigkeit?

Mir ist bewusst, dass ich überprüfen muss, ob P(XV)=P(X)P(V) gilt, gleiches gilt auch für die anderen Variablen zu überprüfen.
Jedoch ist mir nicht ganz klar wie die Mengen bzw. die Wahrscheinlichkeiten dieser aussehen.
Meine Ideen:

X={0,1,2} mit 0 entspricht (ZZ),1 entspricht (ZW),(WZ) und 2 entspricht (WW)
Y={0,1,2} analog mit (ZZ) und (WW) vertauscht
Bei V bin ich mir unsicher, die Fälle beschränken sich ja auf
0 für (WZ) oder (WW)
bzw. 1 für (ZW) oder (ZZ)

W=|X-Y|={0,1,2} mit
0=(X=0,Y=0),(X=1,Y=1)(X=2,Y=2),
1=(X=2,Y=1),(X=1,Y=2),(X=1,Y=0),(X=0,Y=1),
2=(X=2,Y=0),(X=0,Y=2)

Das anschließende berechnen bereitet mir ein paar Probleme.

Vielen Dank im Voraus.

MfG Lawliet




Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
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pivot

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18:16 Uhr, 22.05.2022

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Hallo,

z.B. hier

>>
W=XY=0,1,2 mit
0=(X=0,Y=0),(X=1,Y=1)(X=2,Y=2),
1=(X=2,Y=1),(X=1,Y=2),(X=1,Y=0),(X=0,Y=1),
2=(X=2,Y=0),(X=0,Y=2)<<

(X=0,Y=0) ist ein unmögliches Ereignis. Die Summe von X und Y muss immer 2 betragen.

Es ist P(W=0)=P(X=1,Y=1)=1212+1212=12 und P(W=2)=12

Soweit nachvollziehbar?

Gruß
pivot


Lawliet

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18:42 Uhr, 22.05.2022

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Hoppla, mein Fehler, ja doch das kann ich nachvollziehen.
Was ist jedoch mit meinen anderen Mengen?
Für X:
P(X=0(,Y=2))=14
P(X=1(,Y=1))=12
P(X=2(,Y=0))=14
?

Für V:

P(V=0)=12
P(V=1)=12
?

Für die Unabhängigkeitsrechnung komme ich hier nach trotzdem nicht weiter...
X und W enthalten die gleichen Elemente?
WW,ZZ,WZ,ZW
was ja wiederum alle möglichen Ereignisse sind?
Antwort
pivot

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19:29 Uhr, 22.05.2022

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Die Wahrscheinlichkeiten für X,Y sind richtig.

Die Wahrscheinlichkeiten für V sind richtig.

z.B. ist P(W=0)=12 und P(X=1)=12

Ist jetzt P(W=0X=1)=P(W=0)P(X=1)=14

Die relevanten Wahrscheinlichkeiten für W sind P(X=1,Y=1,W=0)=12,P(X=2,Y=0,W=2)=14,P(X=0,Y=2,W=2)=14
Was ist jetzt P(W=0X=1)=? Und sind dann X und W unabhängig?

Bin jetzt ca. bis 21:30 Uhr außer Haus.
Lawliet

Lawliet aktiv_icon

19:57 Uhr, 22.05.2022

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P(W=0X=1)=12?
Da die sie sich die Elemente teilen? P(X=1)=P(W=0)=P(X=1W=0)=1214=P(X=1)P(W=0)?
Danach wären sie ja folglich nicht abhängig, sofern das stimmt.
Antwort
Gilbert von Greiff

Gilbert von Greiff aktiv_icon

20:18 Uhr, 22.05.2022

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Dem Szenario entsprechend sei

Ω={0,1}2 mit P(ω)=14 für alle ωΩ.

X,Y:{0,1}2{0,1,2},V:{0,1}2{0,1},W:{0,1}2{0,2},

wobei in ωΩ  1 Wappen und 0 Zahl repräsentiere.

Mithilfe einer "Ergebnis - Ereignis - Matrix"

(ωX(ω)Y(ω)V(ω)W(ω)(0,0)0212(1,0)1100(0,1)1110(1,1)2002)

kann man nun angeben:

X und V sind nicht unabhängig, denn z.B.

P(X=2)P(V=1)=1412=180=P((X=2)(V=1)).

X und W sind nicht unabhängig, denn z.B.

P(X=2)P(W=2)=1412=1814=P((X=2)(W=2)).

V und W sind unabhängig, denn

P(V=0)P(W=0)=P(V=1)P(W=0)=P(V=0)P(W=2)=P(V=1)P(W=2)

=14

=P((V=0)(W=0))=P((V=1)(W=0))=P((V=0)(W=2))=P((V=1)(W=2)).


( Beachte hierbei, dass z.B.

P(X=2):=P({ωΩ:X(ω)=2})

P((X=2)(V=1)):=P({ωΩ:X(ω)=2,V(ω)=1})

und analoges für die anderen Rechnungen. )




Lawliet

Lawliet aktiv_icon

20:20 Uhr, 22.05.2022

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Für V wären relevant:
P(V=0,X=1,Y=1)=14
P(V=0,X=2,Y=0)=14
P(V=1,Y=1,X=1)=14
P(V=1,Y=2,X=0)=14
Für X,V:
P(V=1X=1)=P(X=1)P(V=1)=1212=14
P(V=1X=0)=14P(X=0)P(V=1)=1412=18
Und somit nicht unabhängig..?
Antwort
pivot

pivot aktiv_icon

21:45 Uhr, 22.05.2022

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Ich mache jetzt mal beim Beitrag um 19:57 Uhr weiter.
>>Danach wären sie ja folglich nicht abhängig, sofern das stimmt.<<
Ja, das ist richtig.

Die Argumentation mit der Teilung ist etwas fragwürdig, wenn ich das richtig verstanden habe. Es gilt
P(W=0X=1Y=0)+P(W=0X=1Y=1)+P(W=0X=1Y=2)=P(W=0X=1)

bzw.

y=02P(W=0X=1Y=y)=P(W=0X=1)

Da P(W=0X=1Y=0)=P(W=0X=1Y=2)=0 folgt, dass P(W=0X=1Y=1)=12=P(W=0X=1)
Antwort
Gilbert von Greiff

Gilbert von Greiff aktiv_icon

18:55 Uhr, 23.05.2022

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Einen formalen Schnitzer bei mir zuvor möchte ich korrigieren:

Anstatt P(ω)=14   für alle ωΩ

sollte dort P({ω})=14   für alle ωΩ stehen,

denn P:Pot(Ω)[0,1],A|A|4

bildet Teilmengen der Potenzmenge von Ω

(hier Pot(Ω) in Ermangelung eines prachtvollen Schnörkel-P) ab, z.B.

P(X1)=P({(0,0),(1,0),(0,1)})=34

oder einen Teil der Rechnung zur Unabhängigkeit von V und W mal ausführlich:

P(V=0)P(W=0)=P({(1,0),(1,1)})P({(1,0),(0,1)})=1212

=14=P({(1,0)})=P((V=0)(W=0)).




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