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20 Treffer in Folge

Universität / Fachhochschule

Wahrscheinlichkeitsmaß

Tags: Schussfolge, Wahrscheinlichkeitsmaß

Flo00 aktiv_icon

19:36 Uhr, 19.05.2019

Ich habe mit einem Freund eine Meinungsverschiedenheit über ein Beispiel, das er sich ausgedacht hat:

Ein Basketballer trifft mit einer Wahrscheinlichkeit von 45%. Ein Wurf dauert 4 Sekunden und er wirft pausenlos.
Wie lange muss er werfen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von 70% 20 mal hintereinander zu treffen?

Sein Ansatz:
Eine Trefferfolge ist eine Reihe von Würfen bis einer daneben geht. Eine Trefferfolge dauert im Durchschnitt

\sum_{k = 0}^{\infty} 4 \cdot 0, 4 5^{k} = 80 / 11

Sekunden. (Einen Schuss macht er sicher, den zweiten, falls er den ersten trifft und so weiter.)
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällige Folge aus mindestens 20 Treffern besteht ist 0,45^20. Mit der Gegenwahrscheinlichkeit kann man berechnen, wie viele Sekunden man braucht, um auf die gewünschten 70% zu kommen:

0, 3 = (1 - 0.4 5^{20})^{\frac{n}{\frac{80}{11}}}

Das Ergebnis ist 75.520.295 Sekunden.

Anmerkung meinerseits: Eigentlich müsste man bedenken, dass jede Trefferfolge mit einem Fehlwurf endet, daher ist die Wahrscheinlichkeit für eine Folge der Länge k

0, 55 * 0, 4 5^{k}

. Und dann muss man über alle Folgen der Länge 20 oder mehr summieren. Allerdings meint mein Computer

\sum_{k = 20}^{\infty} 0, 55 * 0, 4 5^{k} = 0, 4 5^{20} .

Mein Ansatz:
Schritt 1: Ich berechne die Wahrscheinlichkeit bei n Würfen 20 mal hintereinander zu treffen. Das ist so ähnlich wie einer Binomialverteilung, nur will ich 20 Treffer hintereinander haben. Diese Folge von 20 Treffern verteile ich zwischen den anderen Schüssen (von denen mir zunächst egal ist, ob sie Treffer sind oder nicht). Dafür habe ich

n - 19

Möglichkeinten.
Nun habe ich jedoch diejenigen Folgen mehrfach gezählt, die aus mehr als 20 Treffern bestehen. Also ziehe ich alle Trefferfolgen von 21 Schüssen ab.

Bemerkung am Rande: Mein Gefühl sagt mir, ich sollte hier Inklusion-Exklusion verwenden. Wenn ich das ganze mit kleineren zahlen durchprobiere, komme ich allerdings ohne Inklusion-Exklusion auf dei richtigen Anzahlen gezählter Trefferfolgen.

Meine Wahrscheinlichkeit ist somit

\sum_{k = 20}^{n} b i n o m i a l (n - 20, k - 20) \cdot (n - 19) \cdot 0, 4 5^{k} \cdot 0, 5 5^{n - k} -

\sum_{k = 21}^{n} b i n o m i a l (n - 21, k - 21) \cdot (n - 20) \cdot 0, 4 5^{k} \cdot 0, 5 5^{n - k} =

\frac{12157665459056928801 (11 n - 200)}{2097152000000000000000000000}

Nun schaue ich, wann diese Zahl größer als 0,7 ist und erahlte

n = 10977053, 84 . . .

. Mal vier ergibt das die Anzahl der Sekunden, also aufgerundet 43908216 Sekunden.

Wer von uns Beiden hat recht und warum der Andere nicht?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

HAL9000

20:39 Uhr, 19.05.2019

Ich biete eine weitere Variante:

Es sei

q_{n}

die Wahrscheinlichkeit, nach einer Folge von

n

Würfen NOCH NICHT 20mal hintereinander getroffen zu haben.

Mit Wahrscheinlichkeit

q_{n - 1} - q_{n}

hat man dann in Wurf

n

dieses Ziel "20mal hintereinander" zum ersten Mal erreicht. Das wiederum impliziert, dass die letztem 20 Würfe erfolgreich waren (also Nr

n - 19, n - 18, \dots, n - 1, n

), der Wurf Nr

n - 20

unmittelbar davor erfolglos, und dass in den

n - 21

Würfen vor dieser ganzen Sequenz das bewusste Ereignis auch noch nicht eingetreten ist.

Damit haben wir für

n \geq 21

die Rekursion

q_{n - 1} - q_{n} = 0.4 5^{20} \cdot 0.55 \cdot q_{n - 21}

bzw. umgestellt

q_{n} = q_{n - 1} - λ q_{n - 21}

mit

λ := 0.4 5^{20} \cdot 0.55

.

Startwerte dieser Rekursion sind

q_{0} = q_{1} = \dots = q_{19} = 1

sowie

q_{20} = 1 - 0.4 5^{20}

.

Das ganze treibt man nun so lange, bis erstmalig

q_{n} \leq 0.3

ist - nach meiner Rechnung ist das bei

n = 18 880 069

der Fall. Dieser Wert ist allerdings sehr sehr nahe an deinem ersten Approximationswert (es fehlt ja noch die Multiplikation mit der Zeit 4s).

Flo00 aktiv_icon

21:56 Uhr, 19.05.2019

Wenn ich das mal 4 nehme, sind das 75.520.276 Sekunden, also nur 19 Sekunden weniger als beim ersten Ansatz. Klingt, als währe ich mit dem zweiten Ansatz eher falsch gelegen. Mich würd halt auch interessieren, wo mein Fehler liegt.

HAL9000

22:04 Uhr, 19.05.2019

> Mich würd halt auch interessieren, wo mein Fehler liegt.

Ehrlich gesagt, kann ich deine Idee nicht nachvollziehen: Wieso soll es ein Problem sein, wenn unter den

n

Versuchen mehr als 20 Treffer hintereinander dabei sind? Wichtig ist doch nur, dass bis

n

eine Sequenz der MINDESTlänge 20 dabei ist.

Flo00 aktiv_icon

22:12 Uhr, 19.05.2019

Es ist kein Problem, wenn mehr als 20 Treffer sind. Ich darf nur die längeren Folgen nicht mehrfach zählen. z.B. enthält eine Folge aus 23 Treffern vier Folgen aus 20 Treffern und drei mit 21 Treffern, deshalb zieh ich die längeren ab, um die ganze Folge nur einmal zu zählen.

HAL9000

06:56 Uhr, 20.05.2019

Ich kann dennoch nicht nachvollziehen, wie deine Formel (wie du selbst sagst "ohne Inklusion-Exklusion") das leisten will.

Wie auch immer, ich habe keine Lust stundenlang zu rätseln, wie deine Formel doch noch zu retten ist, da ich in 10 Minuten eine wohlbegründete Alternative gefunden hatte, wenn auch eine rechenaufwändige.

HAL9000

10:24 Uhr, 22.05.2019

Ein Wort noch zur Berechnung der

q_{n}

für große, um nicht zu sagen riesige

n

: Man kann die Rekursion oben gnadenlos durchziehen, das benötigt die reichlich 18 Millionen Iterationen.

Es geht aber auch anders, was sicher interessant wird, wenn das benötigte

n

noch ein paar Zehnerpotenzen größer ist. Die o.g. Rekursionsgleichung

q_{n} = q_{n - 1} - λ q_{n - 21}

ist eine sogenannte Differenzengleichung, für die man auch eine explizite Darstellung gewinnen kann. Dazu löst man die zugehörige charakteristische Gleichung

x^{21} - x^{20} + λ = 0

, die hat 21 verschiedene komplexe Lösungen, davon 3 reelle sowie 18 echt komplexe (9 konjugiert komplexe Paare). Sämtliche Lösungen sind betragsmäßig kleiner als 1, die betragsgrößte (nennen wir sie

x_{1}

) davon ist eine der drei reellen Lösungen, sie ist in erster Näherung

x_{1} \approx 1 - λ

. Mit diesen Lösungen

x_{1}, \dots, x_{21}

lässt sich die Folge explizit darstellen gemäß

q_{n} = \sum_{k = 1}^{21} C_{k} x_{k}^{n}

mit (i.a. auch echt komplexen) Koeffizienten

C_{1}, \dots, C_{21}

, welche sich aus den Anfangsbedingungen

q_{0} = \dots = q_{19} = 0

und

q_{20} = 1 - 0.4 5^{20}

als Lösung eines linearen Gleichungssystem (21x21) berechnen lassen. Für große

n

ist nun der Summand mit dem betragsgrößten

x_{k}

dominant, d.h., für große

k

ist

q_{n} \approx C_{1} x_{1}^{n}

.

Das genannte Gleichungssystem ausgerechnet ergibt sich hier

C_{1} \approx 1.00000116

sowie

x_{1} \approx 0.9999999362304255

, das oben erforderliche

n

mit

q_{n} \leq 0.3

bekommt man dann gemäß

n = ⌈ \frac{\ln (0.3 / C_{1})}{\ln (x_{1})} ⌉ = 18 880 069

1470581

1470203

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