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250 Preise bei einer Tombola

Universität / Fachhochschule

Wahrscheinlichkeitsmaß

Tags: Tombola

Buzzele aktiv_icon

23:29 Uhr, 07.11.2012

Hallo,

ich benötige folgendes zwar nicht für Schule oder Uni, benötige es vielmehr für den private Bereich.

Und zwar gibt es eine Tombola, an der

250

Preise ausgelost werden. Hier werden die Preise nicht gezogen, sondern die Gewinner. Es gibt

10000

Lose und jedes Los gehört einer Person. Mir gehören davon

40

Lose.

Wenn ich jetzt also wissen möchte, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, mindestens 1 Preis zu gewinnen, wie gehe ich vor? Ich kann mich nicht daran erinnern, in der Schule so etwas gelernt zu haben. Stochastik schon, aber nicht für so eine Konstellation.

Wie muss ich überhaupt anfangen? Ich nehme mal an, mit

\frac{40}{10000}

. Das bedeutet, dass ich bei nur einem Gewinn die Chance von

0,4 &

hätte, dass ich diesen einen Preis gewinne.

Falls nicht, dann werden ja immer noch

249

Preise zugelost. Also habe ich beim nächsten Versuch eine Wahrscheinlichkeit von

\frac{40}{9999}

. Wenn ich die zwei multiplizieren würde, würde die Wahrscheinlichkeit sinken, was ja daher kommt, dass man so ausrechnet ob ich zwei mal hintereinander einen Preis gewinnen würde.

Was mir sonst noch einfallen würde, den umgekehrten Weg zu rechnen. Also dass der Fall NICHT eintritt, dass ich gewinne.

Also

\frac{9960}{10000} \cdot \frac{9959}{9999} ...

. Und das eben

250

mal so.

Wenn ich das jetzt vereinfache und

{(\frac{9960}{10000})}^{250}

rechne, dann komm ich auf

38,21 %

. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit, dass ich mit

40

Losen mind. 1 Preis gewinne liegt bei

61,7 %

.

Aber das kann doch nicht sein, oder?

Also wie muss ich da vorgehen??

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Buzzele aktiv_icon

00:32 Uhr, 08.11.2012

Also ich habe jetzt aus Spaß mal ein Programm geschrieben. Das Ergebnis müsste nach dem genauen Prinzip aufgerundet

63,75 %

sein.

Wenn ich

100

Lose eingebe, dann hätte ich schon ne Wahrscheinlichkeit von

92,15 %!!

Das ist doch viel zu viel, oder? Selbst bei 1 Los wäre die Wahrscheinlichkeit schon bei

2,49 %

.

Kann das denn sein???

Ma-Ma aktiv_icon

00:51 Uhr, 08.11.2012

Also ohne tief in die Wahrscheinlichkeitsrechnung einzusteigen:

250

Gewinne und

10000

Lose.

Die Wahrscheinlichkeit

p = \frac{250}{10000} = 0,025 \to 2,5 %

Jetzt kommt noch Herr Bernoulli ins Spiel:

P (k = 1) = (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) \cdot p^{k} \cdot {(1 - p)}^{n - k}

p = 0,025

n = 40

(Anzahl Versuche)

k = 1

(Anzahl der Treffer)

(\begin{matrix} 40 \\ 1 \end{matrix}) \to

Binomialkoeffizient

P (k = 1) = 0,3725 \to 37,25 %

Wenn Du

40

Lose hast, ist Deine Chance auf 1 Gewinn ca.

37 %

Buzzele aktiv_icon

01:00 Uhr, 08.11.2012

Ja, und weiter? So weit war ich auch. Das ist die Wahrscheinlichkeit, wenn ich genau 1 Los habe, oder? Ich habe aber

40

Lose. Ist meine Rechnung oben nun richtig oder nicht?

Ma-Ma aktiv_icon

01:30 Uhr, 08.11.2012

Achtung: Bernoulli trifft nur zu, wenn immer die gleiche Wahrscheinlichkeit besteht.

1)

Du kannst jetzt

40 x

die Bernoulligleichung durchspielen (bei gleicher Wahrscheinlichkeit oder die "Summierte Binomialverteilung" anwenden). (Es geht auch noch über die Integralrechnung.)

2)

Bei Dir ändern sich aber die Wahrscheinlichkeiten je Treffer.
Mit geänderten Wahrscheinlichkeiten (Losen und verbleibenden Gewinnen) empfiehlt sich die Hypergeometrische Verteilung (Berechnung siehe Tante "Wiki). .. und das ebenfalls

40

mal.

Und nein, ich möchte jetzt nicht stundenlang rechnen

. .

.

LG Ma-Ma

Buzzele aktiv_icon

01:40 Uhr, 08.11.2012

Och Mensch, doch so ne komplizierte Sache?? Hatte das alles nicht für die Fachhochschulreife lernen müssen und hab grad im Studium genug andere Sachen zu lernen, als das jetzt mal just4fun zu erlernen.

Naja, schade.

Also das mit

\frac{9960}{10000} \cdot \frac{9959}{9999} ...

. ist ganz sicher falsch? Nicht mal annähernd richtig?

Das wäre halt einerseits so logisch, denn man würde ja ausrechnen wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass genau immer die falschen Lose gezogen würden.

Buzzele aktiv_icon

01:43 Uhr, 08.11.2012

Achso, das Forum hier scheint bisschen verbugt zu sein. Denn deine Antwort vorhin war nicht so ausführlich, wie sie jetzt da steht. Also hat sich die Sache erledigt.

37 %

sind doch weit weg von meinen errechneten. Danke.

Ma-Ma aktiv_icon

01:46 Uhr, 08.11.2012

Wenn Du die Chancen für

n

mal immer wieder eine "Niete" aurechnen möchtest kanst Du das natürlich auch so tun

. .

Ma-Ma aktiv_icon

01:59 Uhr, 08.11.2012

Die

37 %

heißen

\to

mit

37 %

Wahrscheinlichkeit hast Du genau 1 Gewinn !

Du kannst mit veränderten Wahrscheinlichkeiten und Treffern natürlich auch weiterrechnen und das alles addieren

. .

. oder siehe oben

\to

andere Möglichkeiten.

Wenn Du alles zusammenrechnechst heisst das in ETWA, bei

40

Losen hast Du eine Gewinnchance von

95 %,

dass ein oder mehrere Lose gewinnen. Also mit ca.

95 %

gewinnt mindestens eines Deines Lose. (Salopp ausgedrückt.)

Im ungünstigsten Fall "schnickischnacki" (=Krimskrams) im günstigsten Fall ist es der Hauptgewinn.

Capricorn-01 aktiv_icon

06:38 Uhr, 08.11.2012

Die Wahrscheinlichkeit, bei

40

Versuchen mindestens 1 Gewinn zu erzielen, ist gleich

1 -

die Wahrscheinlichkeit, bei keinem der

40

Versuche einen Gewinn zu erzielen

d . h

. p_tot

= 1 - \frac{9750}{10000} \cdot \frac{9749}{9999} \cdot . .

\cdot \frac{9711}{9961}

müsste doch stimmen?

maxsymca

10:03 Uhr, 08.11.2012

Hallo zusammn,

wir spielen hier Lotto mit anderen Rahmenbedingungen:
6 aus

49

bei 6 Gewinnern
wird zu

40

aus

10000

bei

250

Gewinnern
Wie Ma-Ma schon gesagt, Hypergeometrische Verteilung (kann jede Tabellenkalkulation)
Gewinnchancenverteilung:

0 -

keinen Gewinn

= 0.363

1 -

einen Gewinn

= 0.373

2 -

zwei Gewinne

= 0.187

3 -

drei Gewinne

= 0.060

usw...

Capricorn-01 aktiv_icon

11:11 Uhr, 08.11.2012

Der Vergleich mit dem Lotto leuchtet ein.
Um zu berechnen, wie gross die Wahrscheinlichkeit ist, mindestens 1 Gewinn zu haben, kann man so rechnen: 1-p(keinen Gewinn)

= 1 - 0.363232

gibt auf 6 Stellen genau

0.636768

Das gibt dasselbe wie die Summe für

p (k = 1

bis

40)

(zum Vergleich: mit meinem Ansatz oben (Antwort von

6 : 38

Uhr) wäre ich auf

0.637495

gekommen)

1045760

1045715

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