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2.Ableitung Standardabweichung

Universität / Fachhochschule

Tags: Standardabweichung Extremwerte

MarioP aktiv_icon

21:36 Uhr, 18.11.2025

Ich suche die zweite Ableitung der Standardabweichung, um deren Extremwerte bestimmen zu können.

s = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}

demzufolge gilt entsprechend

U = \sqrt{P \cdot R} = \sqrt{V}

mit

V = P \cdot R

und

P = \frac{1}{n}

R = \sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}

Dann ergibt sich doch:

1.

\frac{\partial U}{\partial P} = \frac{\partial U}{\partial V} \cdot \frac{\partial V}{\partial P} = \frac{1}{2 \sqrt{V}} \cdot R = \frac{1}{2 \sqrt{P \cdot R}} \cdot R = \frac{1}{2 \sqrt{\frac{1}{n} \cdot \sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}} \cdot \sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}

(Kettenregel )

2.

\frac{\partial R}{\partial x} = 2 \cdot (x_{i} - \bar{x}) \cdot \bar{x}

\frac{1}{2 \sqrt{\frac{1}{n} \cdot \sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \cdot 2 \bar{x} \cdot (x_{i} - \bar{x})}} \cdot \sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \cdot 2 \bar{x} \cdot (x_{i} - \bar{x})

\frac{1}{2 \sqrt{\frac{1}{n} \cdot \sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \cdot 2 \bar{x} x_{i} - 2 {\bar{x}}^{2}}} \cdot \sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \cdot 2 \bar{x} x_{i} - 2 {\bar{x}}^{2}

mit

{(x_{i} - \bar{x})}^{2} = x_{i}^{2} - 2 x_{i} \bar{x} + {\bar{x}}^{2}

\frac{1}{2 \sqrt{\frac{1}{n} \cdot \sum_{i = 1}^{n} (x_{i}^{2} - 2 x_{i} \bar{x} + {\bar{x}}^{2}) \cdot 2 \bar{x} x_{i} - 2 {\bar{x}}^{2}}} \cdot \sum_{i = 1}^{n} (x_{i}^{2} - 2 x_{i} \bar{x} + {\bar{x}}^{2}) \cdot 2 \bar{x} x_{i} - 2 {\bar{x}}^{2}

so weit bin ich bisher

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

mathadvisor aktiv_icon

16:35 Uhr, 19.11.2025

Nach welchen Variablen willst Du denn ableiten? Was ist

x

in Deiner Rechnung?
Wenn Du nach

x_{i}

ableiten willst, ist

P

eine Konstante, was die Sache vereinfacht.

KL700 aktiv_icon

17:10 Uhr, 19.11.2025

Mich würde interessieren, welche praktische Bedeutung die Ableitung dieses Terms hat.
Wo kommt sie vor um was zu ermitteln?
Über eine Antwort würde ich mich freuen.

Roman-22

19:44 Uhr, 19.11.2025

>

so weit bin ich bisher
Womit? Worum geht es dir?
Du schreibst "Ich suche die zweite Ableitung der Standardabweichung, um deren Extremwerte bestimmen zu können.", doch die Extremwerte sucht man doch idR mit der ersten Ableitung. Der Wert der zweiten Ableitung kann verwendet werden, um den Typ des Extremwerts zu bestimmen.
Und wenn du eine Funktion in mehreren Variablen im Auge hast, dann solltest du dafür die Hesse-Matrix verwenden.

Zu deinen Ausführungen:

ad 1. : Abgesehen von der Frage "wozu?" behandelst du bei der partiellen(?) Ableitung von

V = P \cdot R

nach

P

den Faktor

R

wie eine Konstante. Doch

R

ist von

P

abhängig - schließlich ist

\frac{1}{P} = n

der obere Index der in

R

verwendeten Summe. Also falsch.

ad 2. : Falsch!

x

muss nach deiner Formel für die Standardabweichung doch ein Vektor mit

n

Werten sein. Was möchtest du unter der Ableitung von

R (x) := \sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}

nach dem Vektor

x

denn genau verstehen?. Das was du als 'Ableitung' mit

2 \cdot (x_{i} - \bar{x}) \cdot \bar{x}

angibst ist es aber so oder so mit Sicherheit nicht.

ad 3.

- 5

. : Unkommentierbar, da du nicht angibst, was diese Ausdrücke sein sollen. Ich könnte auch schreiben
6.

P \cdot \bar{x} \cdot \sqrt{ξ} - \sum Q

und man könnte nicht sagen, ob das 'richtig' oder 'falsch' ist, weil ich ja nicht verrate, was ich damit überhaupt meine.

Ein Möglichkeit, eine (erste) Ableitung der Formel für die Standardabweichung zu bilden, die vielleicht auch einen (sehr begrenzten) Sinn hat, wäre, sie als Funktion des Skalars

\bar{x}

zu betrachten.
Das Nullsetzen der Ableitung

\frac{d s (\bar{x})}{d \bar{x}}

und Auflösen der entstehenden Gleichung nach

\bar{x}

liefert dann den arithmetischen Mittelwert der Werte des Vektors

x,

den man natürlich viel leichter mit

\frac{1}{n} \cdot \sum_{i = 1}^{n} x_{i}

errechnen kann. Dass es sich tatsächlich um ein Minimum handelt, könnte man durch einsetzen in die zweite Ableitung

\frac{d^{2} s (\bar{x})}{d {\bar{x}}^{2}}

verifizieren.
Die erste Ableitung von

s (\bar{x}) = \sqrt{\frac{1}{n} \cdot \sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}

ist natürlich

\frac{d s (\bar{x})}{d \bar{x}} = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{\frac{1}{n} \cdot \sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}} \cdot \frac{2}{n} \cdot \sum_{i = 1}^{n} [2 \cdot (\bar{x} - x_{i})] =

= \frac{1}{\sqrt{n \cdot \sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}} \cdot (2 \cdot n \cdot \bar{x} - 2 \cdot \sum_{i = 1}^{n} x_{i}) = \frac{2 \cdot n}{\sqrt{n \cdot \sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}} \cdot (\bar{x} - \frac{1}{n} \cdot \sum_{i = 1}^{n} x_{i})

Nullsetzen liefert dann natürlich die ohnedies bekannte Formel für den Mittelwert

\bar{x} = \frac{1}{n} \cdot \sum_{i = 1}^{n} x_{i}

MarioP aktiv_icon

19:01 Uhr, 20.11.2025

Vielen Dank für Eure Antworten.

Worum es mir geht ist Folgendes Beispiel:

1. Angenommen, ich habe eine Zeitreihe

X

deren Werte alle in einem konstanten Interval

t

gemessen wurden. Die Werte

x

beschreiben die Bewegung einer Baugruppe auf einem Laufband, das sich
zwischen unterschiedlichen Industrieanlagen bewegt, und die bei jeder Industrieanlage bearbeitet werden muss (Industrie

4.0)

. Die Messwerte können dabei

z . B

. die Beschleunigungswerte der Bewegung der Baugruppe sein.

2. Wenn dieses Laufband nun Probleme verursacht, also die Bewegung der Baugruppe behindern, wie

z . B

. durch Verunreinigungen, dann finden sich diese Probleme erkennbar als Ausreisser in der Zeitreihe wieder, wie

z . B

. durch höhere Beschleunigungswerte.

3. Mit der Standarabweichung und dem Mittelwert wollte ich nun bestimmen in welchem Bereich der Zeitreihe die Elemente

x

der Zeitreihe derartige kritische Werte annehmen, also die größte Streuung um den Mittelwert resultiert.

4. Der Gedanke war nun, einfach die Extremwerte der Standardabweichung zu bestimmen, da diese auf kritische Messwerte innerhalb der Zeitreihe hinweisen. Der Plot der Standardabweichung zeigt derartige Extremstellen.

Demzufolge wollte ich die Standardabweichung

s (x) = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}

nach

x

ableiten, also entsprechend die Ableitung

s' (x)

bestimmen,
wobei ich den Mittelwert für

\bar{x}

einfach als Konstante vorbestimmen wollte.
Anschließend wollte ich mit

s' (x) = 0

den Extremwert bestimmen.

Roman-22

21:24 Uhr, 20.11.2025

Was meinst du mit "Extremwerte der Standardabweichung" ??
Für eine gegebene Zeitreihe

t

und die zugehörigen Messwerte

x

ist die Standardabweichung doch nur ein konstanter skalarer Wert. Da gibt es doch keinen Maximalwert denn die Standardabweichung ist keine Funktion. Wovon sollte sie denn abhängig sein? Nur von den Messwerten und die sind vorgegeben.

Was du machen kannst ist den Vektor aus

x - \bar{x}

der Abweichungen vom Mittelwert zu bilden und davon den größten (oder auch absolut größten) ermitteln.

MarioP aktiv_icon

22:20 Uhr, 20.11.2025

Ich will die Standardabweichung als rollierende Standardabweichung verwenden, wo ich demzufolge mehrere Werte bekomme. Ziel ist es, direkt bei der Bestimmung der Messwerte der Zeitreihe die Standardabweichung zu bestimmen (Online) und auf eine vollständige Speicherung der Messwerte zu verzichten (Offline)

Roman-22

00:06 Uhr, 21.11.2025

Nun, dann kannst du also zu jedem Zeitpunkt die Standardabweichung der letzten, sagen wir,

1000

Messwerte bestimmen. Aber dafür hast du doch keine analytische Funktionsgleichung zur Verfügung, die du ableiten könntest. Es geht schließlich um 'zufällige' Messwerte.

HAL9000

10:52 Uhr, 21.11.2025

> Ich will die Standardabweichung als rollierende Standardabweichung verwenden

> [...] und auf eine vollständige Speicherung der Messwerte zu verzichten (Offline)

Ok, also sowas wie

s_{k}^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i = k}^{k + n - 1} {(x_{i} - {\overline{x}}_{k})}^{2}

mit

{\overline{x}}_{k} = \frac{1}{n} \sum_{i = k}^{k + n - 1} x_{i}

für

k = 1, 2, \dots

bei festem

n

.

Nun, das kann man nur bewerkstelligen, indem man zumindest immer die aktuell letzten

n

Werte der Stichprobe gespeichert hält, d.h.

x_{k}, x_{k + 1}, \dots, x_{k + n - 1}

. Mit jedem neuen Wert

x_{k + n}

kann man dann den jeweils ältesten dieser Historie - das ist

x_{k}

- vergessen. In Informatiker-Sprech benötigt man für die Stichprobe also einen FIFO der Länge

n

.

Den Rechenaufwand bei dieser rollierenden Standardabweichung kann man allerdings vermindern, man muss also nicht immer die kompletten Summen neu berechnen: Für beliebig gewähltes reelles

μ

ist

s_{k}^{2} = - {({\overline{x}}_{k} - μ)}^{2} + \frac{1}{n} \sum_{i = k}^{k + n - 1} {(x_{i} - μ)}^{2}

Damit folgt die Iteration

{\overline{x}}_{k + 1} = {\overline{x}}_{k} + \frac{1}{n} [x_{k + n} - x_{k}]

s_{k + 1}^{2} = s_{k}^{2} - {({\overline{x}}_{k + 1} - μ)}^{2} + {({\overline{x}}_{k} - μ)}^{2} + \frac{1}{n} [{(x_{k + n} - μ)}^{2} - {(x_{k} - μ)}^{2}]

.

mit deutlich ersparten Rechenaufwand gegenüber der kompletten Summenberechnung, zumindest bei großem

n

. Allerdings sollte man

μ

möglichst nah an den (natürlich wechselnden) Mittelwerten

{\overline{x}}_{k}

wählen, um den Effekt numerischer Auslöschungseffekte gering zu halten. In älteren Taschenrechnern mit Statistikfunktion wird meist einfach mit

μ = 0

gearbeitet, was bei Datensätzen mit

∣ \overline{x} ∣ ≫ s

numerische Probleme bereiten kann.

Wie man sieht, benötigt man in dieser Iteration neben den laufenden Zwischenwerten

{\overline{x}}_{k}

und

s_{k}^{2}

sowie dem "neuen" Stichprobenwert

x_{k + n}

auch den

n

Zeitpunkte zurückliegenden, alten Wert

x_{k}

, um diese Iteration auszuführen.

Das ist der wesentliche Unterschied zur Standardabweichung von Anfang an (also ohne rollieren), dort benötigt man nur den neuen Wert und kann sämtliche zurückliegenden Werte

x_{i}

vergessen.

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