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2.Ableitung Standardabweichung

Universität / Fachhochschule

Tags: Standardabweichung Extremwerte

MarioPink aktiv_icon

21:36 Uhr, 18.11.2025

Ich suche die zweite Ableitung der Standardabweichung, um deren Extremwerte bestimmen zu können.

s = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}

demzufolge gilt entsprechend

U = \sqrt{P \cdot R} = \sqrt{V}

mit

V = P \cdot R

und

P = \frac{1}{n}

R = \sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}

Dann ergibt sich doch:

1.

\frac{\partial U}{\partial P} = \frac{\partial U}{\partial V} \cdot \frac{\partial V}{\partial P} = \frac{1}{2 \sqrt{V}} \cdot R = \frac{1}{2 \sqrt{P \cdot R}} \cdot R = \frac{1}{2 \sqrt{\frac{1}{n} \cdot \sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}} \cdot \sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}

(Kettenregel )

2.

\frac{\partial R}{\partial x} = 2 \cdot (x_{i} - \bar{x}) \cdot \bar{x}

\frac{1}{2 \sqrt{\frac{1}{n} \cdot \sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \cdot 2 \bar{x} \cdot (x_{i} - \bar{x})}} \cdot \sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \cdot 2 \bar{x} \cdot (x_{i} - \bar{x})

\frac{1}{2 \sqrt{\frac{1}{n} \cdot \sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \cdot 2 \bar{x} x_{i} - 2 {\bar{x}}^{2}}} \cdot \sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \cdot 2 \bar{x} x_{i} - 2 {\bar{x}}^{2}

mit

{(x_{i} - \bar{x})}^{2} = x_{i}^{2} - 2 x_{i} \bar{x} + {\bar{x}}^{2}

\frac{1}{2 \sqrt{\frac{1}{n} \cdot \sum_{i = 1}^{n} (x_{i}^{2} - 2 x_{i} \bar{x} + {\bar{x}}^{2}) \cdot 2 \bar{x} x_{i} - 2 {\bar{x}}^{2}}} \cdot \sum_{i = 1}^{n} (x_{i}^{2} - 2 x_{i} \bar{x} + {\bar{x}}^{2}) \cdot 2 \bar{x} x_{i} - 2 {\bar{x}}^{2}

so weit bin ich bisher

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

mathadvisor aktiv_icon

16:35 Uhr, 19.11.2025

Nach welchen Variablen willst Du denn ableiten? Was ist

x

in Deiner Rechnung?
Wenn Du nach

x_{i}

ableiten willst, ist

P

eine Konstante, was die Sache vereinfacht.

KL700 aktiv_icon

17:10 Uhr, 19.11.2025

Mich würde interessieren, welche praktische Bedeutung die Ableitung dieses Terms hat.
Wo kommt sie vor um was zu ermitteln?
Über eine Antwort würde ich mich freuen.

Roman-22

19:44 Uhr, 19.11.2025

>

so weit bin ich bisher
Womit? Worum geht es dir?
Du schreibst "Ich suche die zweite Ableitung der Standardabweichung, um deren Extremwerte bestimmen zu können.", doch die Extremwerte sucht man doch idR mit der ersten Ableitung. Der Wert der zweiten Ableitung kann verwendet werden, um den Typ des Extremwerts zu bestimmen.
Und wenn du eine Funktion in mehreren Variablen im Auge hast, dann solltest du dafür die Hesse-Matrix verwenden.

Zu deinen Ausführungen:

ad 1. : Abgesehen von der Frage "wozu?" behandelst du bei der partiellen(?) Ableitung von

V = P \cdot R

nach

P

den Faktor

R

wie eine Konstante. Doch

R

ist von

P

abhängig - schließlich ist

\frac{1}{P} = n

der obere Index der in

R

verwendeten Summe. Also falsch.

ad 2. : Falsch!

x

muss nach deiner Formel für die Standardabweichung doch ein Vektor mit

n

Werten sein. Was möchtest du unter der Ableitung von

R (x) := \sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}

nach dem Vektor

x

denn genau verstehen?. Das was du als 'Ableitung' mit

2 \cdot (x_{i} - \bar{x}) \cdot \bar{x}

angibst ist es aber so oder so mit Sicherheit nicht.

ad 3.

- 5

. : Unkommentierbar, da du nicht angibst, was diese Ausdrücke sein sollen. Ich könnte auch schreiben
6.

P \cdot \bar{x} \cdot \sqrt{ξ} - \sum Q

und man könnte nicht sagen, ob das 'richtig' oder 'falsch' ist, weil ich ja nicht verrate, was ich damit überhaupt meine.

Ein Möglichkeit, eine (erste) Ableitung der Formel für die Standardabweichung zu bilden, die vielleicht auch einen (sehr begrenzten) Sinn hat, wäre, sie als Funktion des Skalars

\bar{x}

zu betrachten.
Das Nullsetzen der Ableitung

\frac{d s (\bar{x})}{d \bar{x}}

und Auflösen der entstehenden Gleichung nach

\bar{x}

liefert dann den arithmetischen Mittelwert der Werte des Vektors

x,

den man natürlich viel leichter mit

\frac{1}{n} \cdot \sum_{i = 1}^{n} x_{i}

errechnen kann. Dass es sich tatsächlich um ein Minimum handelt, könnte man durch einsetzen in die zweite Ableitung

\frac{d^{2} s (\bar{x})}{d {\bar{x}}^{2}}

verifizieren.
Die erste Ableitung von

s (\bar{x}) = \sqrt{\frac{1}{n} \cdot \sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}

ist natürlich

\frac{d s (\bar{x})}{d \bar{x}} = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{\frac{1}{n} \cdot \sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}} \cdot \frac{2}{n} \cdot \sum_{i = 1}^{n} [2 \cdot (\bar{x} - x_{i})] =

= \frac{1}{\sqrt{n \cdot \sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}} \cdot (2 \cdot n \cdot \bar{x} - 2 \cdot \sum_{i = 1}^{n} x_{i}) = \frac{2 \cdot n}{\sqrt{n \cdot \sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}} \cdot (\bar{x} - \frac{1}{n} \cdot \sum_{i = 1}^{n} x_{i})

Nullsetzen liefert dann natürlich die ohnedies bekannte Formel für den Mittelwert

\bar{x} = \frac{1}{n} \cdot \sum_{i = 1}^{n} x_{i}

1592023

1592020

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