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2n über n

Universität / Fachhochschule

Binomialkoeffizienten

Tags: Binomialkoeffizient, verallgemeinert

EviOriginal aktiv_icon

13:04 Uhr, 06.11.2018

Ich komme bei Aufgabe

b)

nicht weiter. Ich habe mit der Formel für den verallgemeinerten Binomialkoeffizienten gerechnet und auch versucht mit der Produktformel zu rechnen, aber ich komme nicht auf das Ergebnis daneben.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

Ginso aktiv_icon

13:56 Uhr, 06.11.2018

Also erstmal ist in dem 2. Bild ein fehler: rechts oben müsste

2 n

statt

2 i

stehen.

Also es gilt allgmein:

(\begin{matrix} x \\ k \end{matrix}) = \prod_{i = 1}^{k} \frac{x + 1 - i}{i}

Vorüberlegung:
Um von

(\begin{matrix} x \\ n \end{matrix})

nach

(\begin{matrix} x \\ n + 1 \end{matrix})

zu kommen muss man nur noch ein Faktor anhängen, also gilt

(\begin{matrix} x \\ n + 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} x \\ n \end{matrix}) \cdot \frac{x + 1 - (n + 1)}{n + 1} = (\begin{matrix} x \\ n \end{matrix}) \cdot \frac{x - n}{n + 1}

Wir beweisen die Aufgabe durch Induktion:
Induktionsanfang kannst du selbst nachrechnen.

Sei also die behauptung für ein bestimmtes

n

wahr.
durch die Vorüberlegung ist leicht gezeigt, dass

{(- 1)}^{n + 1} \cdot 4^{n + 1} \cdot (\begin{matrix} - \frac{1}{2} \\ n + 1 \end{matrix}) = {(- 1)}^{n} \cdot 4^{n} ⋆ (\begin{matrix} \frac{1}{2} \\ n \end{matrix}) \cdot (- 4 \cdot \frac{- \frac{1}{2} - n}{n + 1})

Zeige nun noch dass gilt:

(\begin{matrix} 2 n \\ n \end{matrix}) \cdot (- 4 \cdot \frac{- \frac{1}{2} - n}{n + 1}) = (\begin{matrix} 2 (n + 1) \\ n + 1 \end{matrix})

und du erhälst unter verwendung der Induktionsvoraussetzung:

(\begin{matrix} 2 (n + 1) \\ n + 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 n \\ n \end{matrix}) \cdot (- 4 \cdot \frac{- \frac{1}{2} - n}{n + 1}) = {(- 1)}^{n} \cdot 4^{n} ⋆ (\begin{matrix} \frac{1}{2} \\ n \end{matrix}) \cdot (- 4 \cdot \frac{- \frac{1}{2} - n}{n + 1}) =

{(- 1)}^{n + 1} \cdot 4^{n + 1} \cdot (\begin{matrix} - \frac{1}{2} \\ n + 1 \end{matrix})

was zu beweisen war

Nach Induktionsvoraussetzung ist

EviOriginal aktiv_icon

14:18 Uhr, 06.11.2018

Danke!!!!!!!!! Fuck stimmt, man musste nur zeigen, dass die Aussage wahr ist und nicht herleiten, wie man auf die rechte Seite kommt *facepalm*. Vielen vielen Dank!!!!

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