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Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion, Ungleichung

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18:08 Uhr, 24.10.2011

Lösen sie folgende Ungleichung für

x, E, R

| 2 x - 1 | < | x - 1 |

ich wollte einfach mal fragen, ob die Lösung

x < 0

richtig ist.

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

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18:10 Uhr, 24.10.2011

Hallo,

quadriere doch einfach!

Mfg Michael

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18:14 Uhr, 24.10.2011

Wie? was soll ich denn quadrieren

Also so ist mein Rechenweg:

2 x - 1 < x - 1 | - x

x - 1 < - 1 | + 1

x < 0

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18:22 Uhr, 24.10.2011

Hallo,

und? Hast du Zutrauen zu deinem Können oder würdest du eine Probe machen?

Mfg Michael

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18:28 Uhr, 24.10.2011

Hay,

??? was meinst du damit?

muss ich noch weiter rechnen oder ist mein Rechenweg total falsch.

ich wäre dir dankbar wenn du mir weiterhelfen könntest:-D)

michaL aktiv_icon

18:31 Uhr, 24.10.2011

Hallo,

sorry, aber du bist direkt vor dem Lernprozess. Daher: Wenn du dir sicher bist, alles richtig gemacht zu haben, dann gib die Lösung so ab.
Wenn du aber Zweifel hast, könnte eine Probe (irgendein

x < 0

wird dir doch sicher einfallen, oder?) nicht schaden.

Mfg Michael

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19:07 Uhr, 24.10.2011

leider bin ich mir nicht sicher, sonst wäre ich ja nicht hier ;-)

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19:10 Uhr, 24.10.2011

Hallo,

hast du denn dann mal eine Probe gemacht? Irgendein negativer

x

-Wert fällt dir sicher ein!

Mfg Michael

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19:27 Uhr, 24.10.2011

Hi,

ja also wenn ich folgendes mache:

2 x (- 1) - 1 < - 1 - 1

- 2 - 1 < - 2

- 3 < - 2 | + 2

- 1 < 0

: S

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19:30 Uhr, 24.10.2011

Hallo,

die Probe führt man eigentlich an der Original(un)gleichung durch, damit man ausschließt, denselben Fehler zweimal zu machen.

Mfg Michael

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19:32 Uhr, 24.10.2011

hi,

hab ich doch

das

x

hätte ich nur weglassen müssen

michaL aktiv_icon

19:38 Uhr, 24.10.2011

Hallo,

hm, eine Sache muss ich jetzt aber doch loswerden: Du bist echt wenig kooperativ dafür, dass es um dein (!) Studium geht.

Also, die Originalungleichung lautete doch:

∣ 2 x - 1 ∣ < ∣ x - 1 ∣

Setze ich da mal

x = - 1

ein, erhalte ich

∣ - 2 - 1 ∣ < ∣ - 1 - 1 ∣

bzw.

∣ - 3 ∣ < ∣ - 2 ∣

bzw.

3 < 2

. Widerspruch

Der eigentlich wohlgemeinten, langen Rede kurzer Sinn: du hast die Betragsstriche fortgelassen. Das darf man nur unter gewissen Umständen tun. Mach dich also mit den Rechenregeln bzgl. des Betrags vertraut und versuch es noch einmal.
Beachte meinen Tipp von oben ODER verwende eine Fallunterscheidung, um die Betragsstriche loszuwerden!

Mfg Michael

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20:09 Uhr, 24.10.2011

Hi,

also

d . h

| 2 x - 1 | < | x - 1 |

- 1 (2 x - 1) < - 1 (x - 1)

2 x < x

(auf den letzten schritt komme ich leider nicht)

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20:17 Uhr, 24.10.2011

Hallo,

hm, langsam weiß ich nicht mehr weiter. Du musst dir überlegen, unter welchen Umständen du die Betragsstriche wie weglassen kasnnt (und was sich dann noch ändert).

Eigentlich können doch höchstens drei Fälle eintreten:
a) beide Terme in den Beträgen sind negativ (dann muss man zum Fortlassen BEIDE Terme mit -1 multiplizieren
b) nur einer von beiden Beträgen ist negativ (dann muss man noch rausfinden, welcher negativ, welcher positiv ist), dann kann man dort die Betragsstriche durch Multiplikation mit -1 fortlassen, beim anderen einfach so
c) beide Beträge sind nicht negativ, beide Beträge können fortgelassen werden

Das wäre der harte Weg (ich nehme an, dass dir das gut täte, diesen Weg zu gehen. Du brauchst offenbar noch eine Menge Übung in Mathe).
Der andere Weg (den ich wie sauer Bier anbiete) wäre, beide Seiten zu quadrieren. Natürlich muss man auch da überlegen, wie und warum und ob und auf welche Weise und so weiter und so fort.

Mfg Michael

Wimastundentin aktiv_icon

20:29 Uhr, 24.10.2011

hi,

sry ich war bis jetzt nur in einer vorlesung und habe nun mal echt schwierigkeiten.

aber ich glaube das so richtig sein müsste;

- 2 x < - x

und jeztt muss ich noch das

x

auf der linken seite doch auf die rechte seite bringen, in dem ich durch

x

teile dann steht da

- \frac{x}{- x} : S

michaL aktiv_icon

20:43 Uhr, 24.10.2011

Hallo,

ok, ich zeig mal.

Zuerst untersuche ich, in welchem Bereich die einzelnen Beträge EINFACH SO fortgelassen werden können:

∣ 2 x - 1 ∣ = 2 x - 1 \overset{}{\Leftrightarrow} 2 x - 1 \geq 0 \overset{}{\Leftrightarrow} x \geq \frac{1}{2}

∣ x - 1 ∣ = x - 1 \overset{}{\Leftrightarrow} x - 1 \geq 0 \overset{}{\Leftrightarrow} x \geq 1

Also können wir die reele Zahlenachse in die drei folgenden Bereiche einteilen:
(I)

x < \frac{1}{2}

Dort gelten

∣ 2 x - 1 ∣ = 1 - 2 x

und

∣ x - 1 ∣ = 1 - x

.

(II)

\frac{1}{2} \leq x < 1

Dort gilt zwar

∣ 2 x - 1 ∣ = 2 x - 1

, aber

∣ x - 1 ∣ = 1 - x

.

(III)

x \geq 1

Dort gelten

∣ 2 x - 1 ∣ = 2 x - 1

und

∣ x - 1 ∣ = x - 1

So, und nun die Fallunterscheidung:

Fall 1:

x

liegt im Bereich (I), d.h. es gilt

x < \frac{1}{2}

.
Dann muss man die Ungleichung

1 - 2 x < 1 - x

lösen.

1 - 2 x < 1 - x \overset{}{\Leftrightarrow} 0 < x

Also erfüllen schon mal alle

x

mit

0 < x < \frac{1}{2}

die Ungleichung.

Fall 2:

x

liegt im Bereich (II).
Dann muss man die Ungleichung

2 x - 1 < 1 - x

lösen.

2 x - 1 < 1 - x \overset{}{\Leftrightarrow} 3 x < 2 \overset{}{\Leftrightarrow} x < \frac{2}{3}

Also erfüllen auch schonmal alle

x

mit

\frac{1}{2} \leq x < \frac{2}{3}

die Ungleichung.

Fall 3:

x

liegt im Bereich (III).
Dann ...
Mach mal selbst.

Mfg Michael

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21:16 Uhr, 24.10.2011

hi,

ich hoffe ich habe alles richtig gemacht:S

Fall3:x liegt im Bereich 3

dann muss man die Ungleichung

2 x - 1 < x - 1

lösen.

2 x - 1 < x - 1

pfeil in beide richtungen

0 < x

Also erfüllen schon mal alle

x

mit 0<x>gleich 1 die Ungleichung

michaL aktiv_icon

21:25 Uhr, 24.10.2011

Hallo,

hm, nein.

Du hast falsch umgeformt.

2 x - 1 < x - 1 \overset{}{\Leftrightarrow} x < 0

. Es müsste also gleichzeitig

x < 0

und

x \geq 1

gelten, was aber nicht geht.

Also gilt die Ungleichung nur für...?

Mfg Michael

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21:35 Uhr, 24.10.2011

Hi,

es gilt die

x < 0

michaL aktiv_icon

22:02 Uhr, 24.10.2011

Hallo,

keine Ahnung, was du damit meinst.
Ich wollte nur mitteilen, dass eigentlich alle drei sich ergebenden Lösungsteilmengen vereint werden müssen.
Aus Fall 1 hatten wir

L_{1} := {x \in ℝ ∣ 0 < x < \frac{1}{2}}

, aus Fall 2

L_{2} := {x \in ℝ ∣ \frac{1}{2} \leq x < \frac{2}{3}}

. Aus Fall 3 haben wir nur

\emptyset

.

Damit ergibt sich die Gesamtlösungsmenge

L = L_{1} \cup L_{2} = {x \in ℝ ∣ 0 < x < \frac{2}{3}}

.

Es tut mir leid, dass du damit so große Schwierigkeiten hast. Gib einfach nicht auf und denke dran, dass du ja (nach deinem Nickname) Mathe nur als Nebenfach hast.

Mfg Michael

Wimastundentin aktiv_icon

22:10 Uhr, 24.10.2011

Danke Michal

sry das ich dich damit so genervt habe.

Aber vielen vielen Dank.

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