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2x2 Matrix in anderem Koordinatensystem darstellen

Schüler

Tags: Matrix

patrick2 aktiv_icon

12:04 Uhr, 19.07.2016

Aufgabenstellung: Stellen Sie Matrix

A

in der Orthonormalbasis

B

dar.

A = (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix})

b_{1} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix})

b_{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix})

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Meine Lösung:

A ist ja die Matrix bestehend aus den beiden Vektoren

a_{1} = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix})

und

a_{2} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix})

Also:

B \cdot x_{1} = a_{1}

B \cdot x_{2} = a_{2}

B = (\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & - \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix})

Mit dem Gauß bekomme ich dann für

x_{1} = (\begin{matrix} \frac{3}{\sqrt{2}} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} \end{matrix})

x_{2} = (\begin{matrix} \frac{3}{\sqrt{2}} \\ - \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix})

Damit die Matrix

A

in Basis

B :

A_{B} = (\begin{matrix} \frac{3}{\sqrt{2}} & \frac{3}{\sqrt{2}} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & - \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix})

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Wenn ich mir das in Geogebra anschaue macht das auch Sinn. Hier jedoch die Lösung des Dozenten:

A = B \cdot A' \cdot B^{T}

A' = B^{T} \cdot A \cdot B

nach ausmultiplizieren:

A' = (\begin{matrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

Ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen zu verstehen, was und warum meine Lösung falsch ist und die des Dozenten richtig. Auf graphisch in GeoGebra erkenne ich nicht im Ansatz wie dieses

A'

die Lösung sein kann.
Danke!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Determinante und inverse Matrix
Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren

pwmeyer aktiv_icon

17:09 Uhr, 19.07.2016

Hallo,

es kommt doch darauf an, wie

A'

definiert ist.

Die typische - auch von Deinem Dozenten verwendete - ist: Wenn

x \in ℝ^{2}

bezüglich

B

die Koordinaten

x'

hat, dann hat

y = A \cdot x

bezügliche

B

die Koordinaten

y' = A' \cdot x'

.

Also mit

x = B \cdot x' : y = A \cdot x = A \cdot B \cdot x'

und

y' = B^{T} \cdot y = B^{T} \cdot A \cdot B \cdot x' = A' \cdot x'

.
Dabei ist zu beachten, dass wegen der Orthonormalität

B^{- 1} = B^{T}

ist.

Gruß pwm

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