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2x2 Matrix nach Körpereigenschaften untersuchen

Universität / Fachhochschule

Körper

Tags: Körper, Körperaxiome überprüfen

anonymous

14:17 Uhr, 21.04.2015

Hallo,

Ich komme mit einer Aufgabe nicht zurecht und ich hoffe einer kann mir weiterhelfen!
(Aufgabe

s

. Datei unten)

Ich muss eine

2 x 2

Matrix mit Elementen

a, b, c, d

∈

Q

nach ihren Körpereigenschaften überprüfen.

K 1

Assoziativität

K 2

Kommutativität

K 3

Existenz der neutralen Elemente

(+, \cdot)

K 4

Existenz der inversen Elemente(+,*)

K 5

Distributivgesetz

Mich irritiert hier die Matrix irgendwie. Ich weiß nicht wie da anfangen soll. Die Körpereigenschaften versteh ich schon, nur nicht wie ich das an dieser Matrix mit rationale Elementen zeigen soll..?

für

K 3 :

Behauptung:

e = (1,0,0,1)

ist das neutrale Element
Es gilt:

(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) = 1 \to (1,0,0,1)

\to (1,0,0,1) \cdot (a, b, c, d) = (1 \cdot a + 0 \cdot b, 0 \cdot a + 1 \cdot b,1 \cdot c + 0 \cdot d,0 \cdot c + 1 \cdot d) = (a, b, c, d)

wäre das der Beweis für das neutrale Element?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung

anonymous

16:24 Uhr, 21.04.2015

Addition, neutrales Element.

(\begin{array}{rcl} a & b \\ c & d \end{array}) + (\begin{array}{rcl} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array}) = (\begin{array}{rcl} a & b \\ c & d \end{array})

Multiplikation, neutrales Element.

(\begin{array}{rcl} a & b \\ c & d \end{array}) * (\begin{array}{rcl} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}) = (\begin{array}{rcl} a & b \\ c & d \end{array})

anonymous

11:27 Uhr, 25.04.2015

Ok, das neutrale Element ist klar.

Für die Assoziativität habe ich:

Sei

(a, b, c, d) e Q, (f, g, e, h) e Q, (i, j, k, l) e Q

(a, b, c, d) + ((f, g, e, h) + (i, j, k, l)) = ((a, b, c, d) + (f, g, e, h)) + (i, j, k, l)

(a, b, c, d) + (f + i, g + j, e + k, h + l) = (a + f + i, b + g + j, c + e + k, d + h + l)

(a + f, b + g, c + e, d + h) + (i, j, k, l) = (a + f + i, b + g + j, c + e + k, d + h + l)

\to (a + f + i, b + g + j, c + e + k, d + h + l) = (a + f + i, b + g + j, c + e + k, d + h + l)

Assoziativoität nachgewiesen?
Genauso hab ich das mit der Multiplikation gemacht..

Für Kommutativität:

Addition:

Sei

(a, b, c, d) e Q

und

(e, f, g, h) e Q

(a, b, c, d) + (e, f, g, h) = (e, f, g, h) + (a, b, c, d)

(a + e, b + f, c + g, d + h) = (e + a, f + b, g + c, h + d)

Multiplikation:

Allgemein gilt: Matrix

a \cdot b

ungleich

b \cdot a

(a, b, c, d) \cdot (e, f, g, h) =

(ae+cf, be+fd, ag+ch, bg+dh)

(e, f, g, h) \cdot (a, b, c, d) =

(ae+bg, af+bh, ce+dg, af+dh)

\to

nicht kommutativ bzgl. Multiplikation

anonymous

09:40 Uhr, 26.04.2015

nachgewiesen:
(A+B)+C = A+(B+C)
(A*B)*C = A*(B*C)
A+B=B+A

nicht kommutativ für Multiplikation.

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