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3 Punkte mit kubische Spline verbinden
Schüler Fachoberschulen, 12. Klassenstufe
Tags: Funktion 3. Grades, kubische spline
 
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Hallo an alle, ich verzweifle hier bei einer Aufgabe. "Die drei Punkte und sollen durch eine Straße verbunden werden. Bestimmen Sie den Straßenverlauf durch einen kubischen Spline." Kann mir jemand dabei helfen und villeicht erklären wie man das machen soll? Wäre sehr dankbar dafür. Die Punkte liegen wie folge und |
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http//www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/kubspline.htm |
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Hey danke fü den Link, aber leider hab ich überhaupt nichts verstanden. Das mit der kubischen Spline ist mir leider immer noch ein Rätsel |
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Die Idee ist die drei Punkte auf einem Graph unterzubringen, der aus einem Polynom 3.Gades gebildet wird. Dafür gibt es erstmal keine konkrete Lösung, weil 3 Punkte nicht genügen, um die 4 Parameter zu ermitteln. Die "spline-Bedingung" ist, den Autos auf der Strasse so sanfte Kurven wie möglich zuzumuten. |
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Man hätte dann eigentlich eine Funktionsschar oder sehe ich das Falsch? |
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zunächst setzt du mal die Punkte in die allgemein kubische Gleichung ein : A(0|0),B(100|200) und C(1000|0) ob man das Ergebnis dieses Gleichungssystem als Schar bezeichnen kann, sieht man dann vielleicht. Aber eigentlich ist das garnicht so wichtig, weil wir ja noch eine weitere Bedingung haben - Du musst nur mal überlegen, welcher Wert die "Schärfe" der Kurven in der Funktionsgleichung zum Ausdruck bringt. |
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Ich versteh nicht genau was du damit meinst, also mit der "Schärfe". |
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Scharfe Kurve: mit Pfeffer und Paprika im Strassengraben. Was bezeichnet man als scharfe Kurve? ( Ich meine bei einer Strasse, nicht bei einer Frau) Aber wenn Dir das zu einfach ist, nennen wir es eben Kurvenradius und Biegung. Hast Du eigentlich das Gleichungssystem da oben schon mal angefangen aufzulösen? |
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Also ich bekomme und heraus. Ich wüsste aber nicht wie man die Schärfer einer Kurve(nicht die einer Fraus - ist doch zu scharf) berechnen soll. |
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Ableitung wäre da eventuell ein Stichwort |
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Okey Ableitung. Ich vermute mal man muss dan in einem kleinem Intervall rechnen und die schärfe einer Kurve zu berechnen, weil es bring mir ja nichts wenn ich die Steigung an einem Punkt weiß. Ist so mein Gedankengang richtig? |
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Ach - ich seh ja jetzt erst, dass Du mit drei Gleichungen alle vier Parameter ermitteln konntest - wusste garnicht dass sowas geht! Dann wäre die Aufgabe ja eigentlich schon gelöst. Falls Du aber nicht das Glück hattest, einen Sonderfall zu bekommen ( habe keine Zeit zum Nachrechnen grade), müsstest du Dir doch noch überlegen, wie Du das Maximum der Ableitung minimierst. ( Tipp: 2.Ableitung) |
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Das würde bedeuten, die 2. Ableitung so klein wie möglich? |
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Habe mir inzwischen etwas Gedanken gemacht, nachdem ich heute viele Kurven befahren habe : Die Strasse würde ohne Hindernis zwischen dem ersten und dem dritten Punkt verlaufen. Da nichts anderes angegeben ist, gehen wir mal davon aus, dass sie eine Gerade ist, die diese Punkte durchläuft und eben aus den unendlichen Weiten des Universums kommt und auch wieder dahin entschwindet. Die Ableitung der gesuchten Spline-Funktion ist also die Steigung der Geraden A-C. Das wären schon mal zwei nützliche Angaben, die man aus dem Zusammenhang gewinnen kann, die aber nicht explizit im Text stehen. Explizit sind immerhin die drei Punkte gegeben. Das macht zusammen fünf Angaben für vier Variablen - das solltest du mal probieren, ob da was brauchbares rauskommt. Ich bin ganz neugierig auf das Ergebnis Deines Versuchs! |
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Wir haben heute das Thema endlich besprochen, jetzt weiß ich wie man auch auf soviele Bedingungen kommt. Das war mir vorher so das Rätsel wie man auf 8 Bedingungen kommen soll. Ich danke dir für deine Mühe und dein Durchhaltevermögen. Wenn interesse an der Lösung gibt, dann er das hier reinschreiben oder mir eine PM. |
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8 Bedingungen? Dann werden vermutlich zwei Funktionen gesucht - eine für A-B und eine für B-C , nehme ich mal an. Die Musterlösung würde mich durchaus interessieren - könnte ja sein, dass so eine ähnliche Frage wiedermal gestellt wird. Wieviele aus Eurer Klasse haben es denn auf Anhieb richtig hinbekommen ? |
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Es hatte keiner auf Anhieb, das hat dann doch etwas unseren Lehrer gewundert xD Also es gibt 3 Punkte, was für eine kubische Spline bedeutet 8 Bedingungen und 2 Funktionen und Punkt A Punkt A Punkt Punkt Punkt Punkt Punkt Punkt Das macht man dann am besten mit einer Matrize in einem GTR oder Gaußes Verfahren. Und die Lösung ist dann: ,für ,für Da muss man erst mal drauf kommen xD |
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Bei A und C sind die 2.Ableitungen auf null - ist das wirklich so? ich plädiere eher für die ersten Ableitungen=0. Kontrolliere das doch mal bitte. |
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Ja das ist die Randbedingung, wäre ich nie im Leben darauf gekommen. Also Randbedingung immer und |
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Das würde bedeuten, dass an den Anfang und Beginnpunkten A un C ein Wendepunkt wäre. Das ist von der Aufgabenstellung her eigentlich richtig. Nur wenn man eine gerade Strasse bei A und C unterbrechen und diesesn Spline dazwischenschöbe gäbe es an den Punkten einen Knick. Also ist das theoretisch richtig, aber praktisch so nicht brauchbar. Aber macht nix - jetzt habe ich auch was dazugelernt. |
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Es geht dann ja nur um diesen Bereich, wie unser Lehrer meinte, bei der Modellierung einer Karosserie gibt es ja hunderte solcher Punkte, wodurch die ineinader übergehen. Hääte man jetzt 4 Punkte, dann musste man die Bedingungen von Punkt auf Punkt mit und verwenden und dann bei bei Punkt die Bedingungen von Punkt für verwenden. Wenn man es mal erstanden hat, sieht die Welt gleich anders aus xD |
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Alles klar dann! War jedenfalls eine sehr interessante Aufgabe |
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