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3 Vektoren auf lineare abh./unabhängigkeit prüfen

Universität / Fachhochschule

Tags: Lineare Abhängigkeit, Vektor

MeinNick

17:31 Uhr, 08.02.2015

Hallo zusammen,

ich habe hier 2 Aufgaben á 3 Vektoren, bei denen ich Prüfen möchte, ob diese linear abhängig oder unabhängig sind. Ich dachte ich hätte es verstanden aber die bringen mich irgendwie aus dem Konzept.
Gelernt hatte ich, die Vektoren als Matrix aufzuschreiben und anschließend den Gauß-Algo. durchzuführen.
Wenn eine Nullzeile herauskommt sind die Vektoren linear abhängig, da es unendlich viele Lösungen gibt.
Wenn keine Nullzeile heraus kommt muss man die linearen Gleichungen lösen können (

=

lin abhängig).
Gelingt das nur mit der trivialen Lösung

(λ_{n} = 0)

sind die Vektoren linear unabhängig.

So, ist das so schonmal korrekt so? Dann nun die beiden Aufgaben!

Aufgabe 1.

a_{1} = (\begin{matrix} - 2 \\ 4 \\ - 14 \\ - 18 \end{matrix}) a_{2} = (\begin{matrix} - 2 \\ 4 \\ 14 \\ - 17 \end{matrix}) a_{3} = (\begin{matrix} 6 \\ - 12 \\ 40 \\ - 54 \end{matrix})

Matrix:

[\begin{matrix} - 2 & - 2 & 6 \\ 4 & 4 & - 12 \\ - 14 & 14 & - 40 \\ - 18 & - 17 & - 54 \end{matrix}]

Gerechnet habe ich wie folgt:

(4, 4, - 12) + 2 \cdot

Zeile

1 \to (0, 0, 0)

(- 14, 14, 40) - 7 \cdot

Zeile

1 \to (0, 0, - 2)

\frac{- 2, - 2, 6}{2} \to (- 1, - 1, 3)

(- 18, - 17, - 54) - 18 \cdot

Zeile

1 \to (0, 1, - 108)

Endmatrix:

[\begin{matrix} - 1 & - 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 2 \\ 0 & 1 & - 108 \end{matrix}]

Ergebnis: Nullzeile!

\to

Es gibt unendlich viele Lösungen

\to

linear Abhängig

Aufgabe 2:

a_{1} = (\begin{matrix} - 1 \\ 5 \\ 3 \\ - 1 \end{matrix}) a_{2} = (\begin{matrix} 7 \\ - 35 \\ - 15 \\ - 7 \end{matrix}) a_{3} = (\begin{matrix} 10 \\ - 22 \\ - 30 \\ 10 \end{matrix})

Matrix:

[\begin{matrix} - 1 & 7 & 10 \\ 5 & - 35 & - 22 \\ 3 & - 15 & - 30 \\ - 1 & - 7 & 10 \end{matrix}]

Gerechnet:

Zeile

2 + 5 \cdot

Zeile

1 \to (0, 0, 28)

Zeile

3 + 3 \cdot

Zeile

1 \to (0, 6, 0)

Zeile

4 -

Zeile

1 \to (0, - 14, 0)

Endmatrix:

[\begin{matrix} - 1 & 7 & 10 \\ 0 & 0 & 28 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & - 14 & 0 \end{matrix}]

Hier komme ich auch ins trudeln.
Ich würde sagen das die Gleichung nur trivial gelöst werden kann, also

λ_{1} = λ_{2} = λ_{3} = 0

also linear unabhängig. ABer 1. weiß ich nicht ob das so korrekt ist und 2. ist das irgendwie dünne so als Erklärung! :-D)

Ich brauche Hilfe!

\frac{:}{}

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt

weeste aktiv_icon

17:40 Uhr, 08.02.2015

Eine andere vllt einfachere Möglichkeit wäre ja den Nullvektor als Linearkombi von den 3 Vektoren darzustelle. Wenn diese Lkombi trivial ist sind die Vektoren lineare unabhänig und sonst linear abhängig.

(0,0,0,0) = a \cdot (- 2,4, - 14, - 18,) + b \cdot (- 2,4,14, - 17) + c \cdot (6, - 12,40, - 54)

0 = - 2 a - 2 b + 6 c

0 = 4 a + 4 b - 12 c

0 = - 14 a + 14 b + 40 c

0 = - 18 a - 17 b - 54 c

Gleichungen nach

a, b, c

auflösen.

Wenn

a = b = c = 0

ist, sind die Vektoren linear unabhänig.

2. Aufgabe folgt genauso.

MeinNick

09:15 Uhr, 09.02.2015

Hm, will nicht so recht.
Also erstmal grundsätzlich, stimmt das was ich vor den beiden Aufgaben geschrieben habe?

Nun zu dem nach

a, b, c

auflösen, wie sol ich das machen?

Ich hab mal so angefangen:

0 = - 2 a - 2 b + 6 \frac{c}{+} 2 a

2 a = - 2 b + 6 \frac{c}{:} a

a = - b + 3 c

Korrekt so? Und das muss ich doch nun in die nächste einsetzen, oder?
Also

0 = 4 (- b + 3 c) + 4 b - 12 c

0 = - 4 b + 12 c + 4 b - 12 c

0 = 0

Und nu? Ich hab ja nun weder nach

b

noch nach

c

aufgelöst? Wie soll ich das weiter verwurschteln?

Respon

09:32 Uhr, 09.02.2015

Überprüfe nochmals die Definition der linearen Unabhängigkeit.

Respon

10:10 Uhr, 09.02.2015

Beachte, dass du 3 Vektoren aus

ℝ^{4}

hast !

weeste aktiv_icon

10:12 Uhr, 09.02.2015

Mit Matrizenschreibweise gelöst. Siehe Anhang.

Respon

10:15 Uhr, 09.02.2015

Korrigiere das :
"Wenn eine Nullzeile herauskommt sind die Vektoren linear abhängig, da es unendlich viele Lösungen gibt. "

Respon

10:17 Uhr, 09.02.2015

2. Beispiel:
Es fehlt noch ein Rechenschritt. Auch diese Matrix hat den Rang

3 (

also eine Zeile mit

0)

MeinNick

15:24 Uhr, 09.02.2015

Hi!

Also noch weiß ich nicht

100 %

worauf es hinausläuft.

Die Definition sagt das eine lineare abhängigkeit vorliegt, wenn es eine nicht triviale Linearkombination gibt.
Also ist mindestens 1 Vektor Linearkombination der übrigen Vektoren.

Ansonsten sind diese linear unabhängig.

Aber was bedeutet das nun für meinen konkreten Fall?
Das wären ja folgende Gleichungen:

- 2 x - 2 y = 6

+ 4 x + 4 y = - 12

- 14 x + 14 y = 40

- 18 x - 17 y = - 54

Hm.

MeinNick

15:30 Uhr, 09.02.2015

@ respon "Beachte, dass du 3 Vektoren aus ℝ4 hast !"

Ja, mache ich. Nur welchen Schluss ich daraus ziehen soll .. unklar.

= D

MeinNick

15:40 Uhr, 09.02.2015

@ Respon "2. Beispiel:
Es fehlt noch ein Rechenschritt. Auch diese Matrix hat den Rang

3 (

also eine Zeile mit 0)"

Also so?

[\begin{matrix} - 1 & 7 & 10 \\ 0 & 0 & 28 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}]

Hm, nun habe ich hier auch eine Nullzeile. Bei vielen kommt an diesem Punkt bestimmt

\to

"Na klar!" Nur bei mir gerade nicht.

Ich habe ein ganz großes Brett vor dem Kopf, oder es scheitert an den Basics. Wahrscheinlich eher zweiteres.

abakus

16:54 Uhr, 09.02.2015

−2x−2y=6
+4x+4y=−12
−14x+14y=40
−18x−17y=−54

Hallo,
die ersten beiden Gleichungen sind im Prinzip identisch, eine davon genügt..
Wenn man die erste mal 7 nimmt erhält man
-14 x - 14 y = 42
Addiert man das zur dritten, folgt -28x=82, also x=-41/14. Daraus folgt (sowohl in der ersten als auch in der zweite und in der dritten Gleichung, dass y=-1/14 sein muss.
Dieses Paar erfüllt aber die vierte Gleichung NICHT, weil nicht -54 rauskommt.
Also gibt es keine Linearkombination der ersten beiden Vektoren, die den dritten Vektor erzeugt.

MeinNick

09:53 Uhr, 10.02.2015

Hallo Gast62,

danke für die Antwort, ich glaube nun läufts!

= D

Ich bin das nochmal durchgegangen und habe einen Fehler in meiner Matrix zu Aufgabe 1 gefunden.

Ich hatte

(- 14, 14, 40)

durch

- 7 \cdot

1-Zeile gerechnet und im ersten Anlauf kam

(0, 0, - 2)

heraus. Allerdings ist

14 - 7 \cdot - 2 = 28 . .

.

Also wäre die korrekte Endmatrix wie folgt:

[\begin{matrix} - 2 & - 2 & 6 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 28 & - 2 \\ 0 & 1 & - 108 \end{matrix}]

Von diesem Punkt aus hätte es wohl geklappt

. .

.

Aber noch weitere Fragen!
1. Die zweite Nullzeile ist also nichts Wert da, ausgehend von der Aufgabenstellung, die erste und Zweite Zeile quasi identisch sind. korrekt?

2. Wäre das nicht so, hätte ich an der Nullzeile alleine schon ausmachen können, das die Vektoren nicht linear abhängig sind, korrekt?

3. Wenn ich nun mal diese zweite Zeile am Anfang direkt weglasse, könnte ich auch aus der daraus resultierenden

3 x 3

Matrix die Determinante berechnen, um festzustellen ob die Vektoren linear abh./unabh. sind?

Schon jetzt vielen Dank an alle für die Hilfe.

MeinNick

10:27 Uhr, 10.02.2015

Die Begründung zu Aufgabe 2 läßt mich nicht in Ruhe.. hehe
Ich habe mir noch einmal die Definition durch den Kopf gehen lassen.

Die Besagt, (man möge mich korrigieren), folgendes:
Man habe

n

Vektoren. Diese sind linear unabhängig, wenn es für

λ_{1} \cdot a_{1} + λ_{2} \cdot a_{2} + . .

+ λ_{n} \cdot a_{n} = 0

noch eine andere Linearkombination als die triviale gibt.

< - -

Habe ich das so korrekt verstanden?

Also nehme ich mir nun eine Matrix welche ich in Zeilen-/Stufenform gebracht habe:

[\begin{matrix} - 1 & 7 & 10 \\ 0 & 0 & 28 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix}]

Und nun meine lieblingszeile, die Nullzeile.

Hier müsste ich ja nun Rechnen können,

λ_{1} \cdot 0 + λ_{2} \cdot 0 + λ_{3} \cdot 0 = 0

Hier könnte ich ja

x

beliebige Ziffern für

λ_{n}

eintragen und es kommt immer 0 heraus?!

Anders

z . b

. die zweite Zeile

(0, 0, 28)

λ_{1} \cdot 0 + λ_{2} \cdot 0 + λ_{3} \cdot 28 = 0

Um hier nun zeigen zu können, das die Vektoren linear abhängig sind, müsste ich für

λ_{3}

eine Ziffer finden, welche multiplizier mit

28 = 0

ergibt.
Da dieses Ergebnis aber nur mit der 0 zustande kommt, teil der trivialen linearkombination, sind die Vektoren lin. unabhängig.

\to

Ist das so korrekt?

Wenn nein wäre es super wenn man mir die Definition mal kurz und knapp erklärt.

Mathe45

11:00 Uhr, 10.02.2015

Versuche das Problem allgemein zu betrachten ( unabhängig von diesem Beispiel ).
Die Überprüfung, ob Vektoren linear unabhängig sind oder nicht führt zu einem homogenen linearen Gleichungssystem. Daher ist die prinzipielle Frage: Hat mein homogenes LGS nur die triviale Lösung

(\Rightarrow

Vektoren linear unabhängig ) oder nicht ?
Dazu gibt es ausreichende Literatur im Netz.

z . B

.
http//www.rzbt.haw-hamburg.de/dankert/WWWErgVert/html/homogene_gleichungssysteme.html

( Falls der Link nicht funktioniert, habe ich dir den wichtigsten Satz herauskopiert )

MeinNick

07:41 Uhr, 12.02.2015

@ Mathe45

Die Seite ist gut, danke! ;-)
Damit will ich es auch bei dem Thema belassen, danke an alle.

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