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3 Vektoren bilden eine Basis, zwei Unbekannte

Universität / Fachhochschule

Lineare Unabhängigkeit

Tags: Basisvektoren, Lineare Unabhängigkeit, Lineares Gleichungssystem

BrickPig aktiv_icon

20:07 Uhr, 23.10.2015

Hallo,
Ich habe Fragen zu folgenden Aufgaben.

Gegeben sind

a = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ α \end{matrix}) b = (\begin{matrix} 1 \\ β \\ 2 \end{matrix}) c = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

a)

Für welche Werte

α, β

bilden die Vektoren

a, b,

und

c

eine Basis?

Die Vektoren bilden ja eine Basis, wenn die drei Vektoren linear unabhängig sind.
Mein Ansatz lautet wie folgt:

λ_{1} \cdot a + λ_{2} \cdot b + λ_{3} \cdot c = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

Jetzt will ich ersteinmal berechnen, für welche Werte die Vektoren linear abhängig sind,

d . h

. es mehr als die triviale Lösung gibt.

Dazu hab ich jetzt ein Gleichungssystem aufgestellt:

(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & | 0 \\ 0 & β & 1 & | 0 \\ α & 2 & 1 & | 0 \end{matrix})

und nach Gauß umgeformt und dann rausgefunden:

(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & | 0 \\ 0 & β & 1 & | 0 \\ 0 & 0 & α + β - α \cdot β - 2 & | 0 \end{matrix})

Wenn man das jetzt ausschreibt steht da

(α + β - α \cdot β - 2) \cdot λ_{3} = 0

Muss man jetzt eine Fallunterscheidung machen?

1.Fall:

λ_{3} = 0

daraus folgt

β \cdot λ_{2} = 0

mit

λ_{2} = 0

und dauarus wiederum

λ_{1} = 0

2.Fall:

λ_{3} = 0

daraus folgt

β \cdot λ_{2} = 0

mit

β = 0

. Dadurch kann

λ_{2}

irgendeine Zahl sein und damit wäre dann die Vektoren linear abhängig, oder?

3.Fall:

α + β - α \cdot β - 2 = 0

dann kann ich doch einfach

α = c \in ℝ

außer 1

und komme dann auf die Lösung

β = \frac{2 - c}{1 - c}

Ist jetzt die Lösung einfach, dass die Vektoren die Basis bilden, wenn

β \neq 0

oder

α = c

und

β \neq \frac{2 - c}{1 - c}

b)

Obwohl ich bei a ja wenigstens eine Idee hab, weiß ich nicht, was ich mit

b

anfangen soll:

Für welche Werte

α, β

bilden die Vektoren

a, b, c

eine othogonale Basis?

Das heißt doch, dass alle drei Vektoren senkrecht aufeinander stehen?
Wenn ich jetzt das Skalarprodukt

= 0

setze, komme ich auf:

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ α \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) = 1 + 0 + α = 0

also

α = - 1

(\begin{matrix} 1 \\ β \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) = 1 + β + 2 = 0

also

β = - 3

Wenn ich jetzt aber die beiden letzten Vektoren so mache und die Werte für oben einsetze:

(\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ α \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ β \\ 2 \end{matrix}) = 1 + 2 \cdot (- 1) = - 1 \neq 0

Und was jetzt? oder mache ich etwas falsch?

Vielem Dank für eure Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Lineare Gleichungssysteme

DrBoogie aktiv_icon

20:33 Uhr, 23.10.2015

"Muss man jetzt eine Fallunterscheidung machen?"

Nein. Wenn Du eine leere Zeile bekommst, ist die Matrix entartet und damit die Vektoren lin. abhängig. Wenn nicht, dann sind die Vektoren lin. unabhängig.

λ_{1}, λ_{2}, λ_{3}

kannst Du einfach außer Acht lassen. Außerdem wärst Du schnell am Ziel, wenn Du einfach die Determinante der Matrix berechnen würdest.

BrickPig aktiv_icon

20:47 Uhr, 23.10.2015

Aber ich muss ja Werte angeben und anscheinend gibt es ja auch Werte für die die Vektoren linear abhängig sind, oder?

Mit der Determinate kommt man auch auf

α + β - α \cdot β - 2

(habs damit auch gdurchgerechnet). Wenn ich das Null setze, kommt man ja auch auf die Ergebnisse, wo die Vektoren linear abhängig sind.

DrBoogie aktiv_icon

20:54 Uhr, 23.10.2015

Ja, Du kommst natürlich auch auf die Bedingung

α + β - α \cdot β - 2 \neq 0

für lineare Unabhängigkeit.
Aber mehr ist da nichts zu machen, die Bedingung lässt sich nicht vereinfachen. Was Du ober versucht hast, ergibt keinen Sinn.

In b) hast Du alles richtig gemacht, sie bilden wirklich nie eine orthogonale Basis.

BrickPig aktiv_icon

20:57 Uhr, 23.10.2015

Dankeschön, dann hab ichs mir komplizierter gemacht als eigentlich nötig.

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