3. binomische Formel, binomischer Lehrsatz???

Hallo, bin neu hier und ich hoffe es kann mir wer helfen.

Unser Prof von Lineare Algebra und analytische Geometrie ist nämlich sowas von "toll", dass ich gar nichts verstehe. 

Und zwar geht es um die dritte binomische Formel: a²-b² = (a+b)(a-b) soweit so gut. Dann haben wir die Verallgemeinerung gestartet und schon tauchen bei mir ein paar mehr Fragen auf:

${\displaystyle {}_{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1-{}_{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}+1=(\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>})(\sum _{\mathrm{j<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0}^{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{}_{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{j<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{}_{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}-\mathrm{j<mspace\; width="0.12em"></mspace>});\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\ge 0,\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{ϵ<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{N<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

(Ich hoffe, man kann das so lesen, einigermaßen..) Also meine Fragen:

1. Warum nimmt man n+1 und nicht etwa nur n

2. Wieso krieg ich da die Summe, also ich weiß schon, was die Summe ist und wie das allgemein gemeint ist, aber WIE komm ich da drauf. Ich steh auch völlig auf der Leitung wie ich eigentlich von a²-b² auf (a+b)(a-b) komm. Also rechnerisch, nicht weil ich es weiß, dass es so ist. Vielleicht würd ich dann das mit der Formel auch verstehen.

3. Hat das irgendwas mit dem binomischen Lehrsatz zu tun?? Seit Tagen bin ich nämlich auf der Suche und das, was wir da machen, find ich konkret nirgends. 

Achso, als Anwendung sind wir dann auf geometrische Reihen gekommen und auf Primzahlen. Hierzu noch eine Frage, warum ist ${\displaystyle {}_2\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$-1 für ${\displaystyle \mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\ge 2}$ eine Merzennsche Primzahl und warum ist gleichzeitig k auch eine Primzahl. Das gleiche ham wir dann noch für ${\displaystyle {}_2\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$+1 gemacht, aber das erschließt sich mir genauso wenig.

Ich wär echt DANKBAR, wenn mir wer helfen könnte. Am wichtigsten ist mir das mit der binomischen Formel...