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3-dim. Vektor mit ganzzahliger Länge
Lehrer
Tags: ganzzahlig, Vektor
 
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Man betrachte die Menge der Vektoren mit a,b und ganzzahliger Länge L Ich habe für beliebig vorgegebene a,b ein Konstruktionsverfahren für alle passenden und ganzzahliger Länge L gefunden und dabei festgestellt, dass es für L = mit offenbar keine Lösung gibt, kann aber keinen Beweis dafür finden. Hat jemand dazu eine Idee? Für alle L < 170 habe ich per Computerprogramm mindestens einen Vektor als Lösung gefunden,aber nicht, wenn L eine Zweierpotenz ist. ----------------------------------------------------------- Hilfreich könnten folgende Überlegungen sein: Wegen und a>0 ist L>c und damit L = c + x für x . Daraus ergibt sich c = , falls der Wert ganzzahlig ist. Dabei ist x a) Für a und b gerade gibt es immer eine Lösung mit x = 2. Die führt auf b) Für a gerade und b ungerade oder umgekehrt gibt es immer eine Lösung mit x = 1. Die führt auf c) Für diese beiden Fälle kann es weitere Lösungen geben, bei denen man aber nicht alle möglichen x-Werte durchprobieren muss: Da x den Zähler teilen muss und teilt, muss x auch teilen. Da 2 den Zähler teilen muss, muss dieser gerade sein und x somit die selbe Parität wie haben. Somit kann man sich für x auf die Teiler von mit gleicher Parität wie beschränken. So gibt es für a=12 und b = 24 für x = 2, 4, 6, 8, 10, 12, 18, 20 und 24 insgesamt 9 Lösungen. d) Für a und b ungerade gibt es keine Lösung. Für eine gerade Zahl z = 2n ist 0 mod 4, für eine ungerade Zahl z = 2n - 1 ist 1 mod 4. Sind nun a und b ungerade, so ist (0 oder 1) mod 4 = (2 oder 3) mod 4, aber muss (0 oder 1) mod 4 sein. Fazit: Von den drei Zahlen a, b und c kann maximal eine ungerade sein. |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: Parallelverschiebung Rechnen mit Vektoren - Einführung Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten Skalarprodukt |
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Quadratzahlen lassen bei Teilung durch 4 den Rest 0 oder den Rest 1. Wenn die Summe dreier Quadratzahlen durch 4 teilbar sein soll geht das für a²+b²+c² also nur, wenn alle drei Zahlen a, b, c gerade sind. Dann haben aber a, b und c einen gemeinsamen Teiler 2, vielleicht sogar einen gemeinsamen Teiler 2^k. Wenn man die größtengemeinsame Zweierpotenz 2^k aus a, b und c ausklammert, erhält man a=a' *2^k, b=b' * 2^k und c=c' *2^k. Von den drei Zahlen a', b' und c' ist mindestens eine ungerade, sodass (a')² +(b')² + (c')² nicht durch 4 teilbar sein kann und deshalb (falls (a')² +(b')² + (c')² nicht gerade gleich 2 ist) noch ungerade Primfaktoren enthalten muss. |
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Vielen Dank, das ist einleuchtend. |
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