3x3 Matrix bestimmen

Hallo zusammen,

ich bin es mal wieder :)

die Aufgabe ist:

Von der symmetrischen Matrix ${\displaystyle \mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\in {\mathrm{M<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{3,3}\left(\mathbb{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)}$ ist folgendes bekannt:

${\displaystyle {\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1=20,\mathrm{S<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{p<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=42,\mathrm{det<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=2420,\mathrm{E<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{g<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{v<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{k<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{o<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1:{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1={(2,-1,2)}^{\mathrm{T<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

Bestimmen Sie die Matrix A;

i) Habe ich die Eigenwerte berechnet: ${\displaystyle {\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1=20(\mathrm{V<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{l<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}:1),{\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2=11(\mathrm{V<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{l<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{h<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{e<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{t<mspace\; width="0.12em"></mspace>}:2)}$

ii) Die Eigenvektoren sind dann: ${\displaystyle {(2,-1,2)}^{\mathrm{T<mspace\; width="0.12em"></mspace>}},{(-1,0,1)}^{\mathrm{T<mspace\; width="0.12em"></mspace>}},{(1/2,1,0)}^{\mathrm{T<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

Weiter weiß ich ja, dass die Vektoren orthogonal sind(dieses sind dann eben so bestimmt worden); weiter kann ich aus diesen Vektoren eine Orthonormalbasis machen, so dass ich ${\displaystyle \mathrm{T<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{D<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{\mathrm{T<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{T<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ bestimmen kann.

Meine Orthonormalbasis lautet: ${\displaystyle {\overrightarrow{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}_1={\frac{1}{\sqrt{2}}(2,-1,2)}^{\mathrm{T<mspace\; width="0.12em"></mspace>}},{\overrightarrow{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}_2={\frac{1}{\sqrt{2}}(1/2,1,0)}^{\mathrm{T<mspace\; width="0.12em"></mspace>}},{\overrightarrow{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}_3={\frac{1}{\sqrt{2}}(\frac{1}{5},\frac{1}{10},\frac{1}{4})}^{\mathrm{T<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

Dann hab ich doch T= ${\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}1& \frac{1}{4}& \frac{1}{10}\\ -\frac{1}{2}& \frac{1}{2}& \frac{1}{20}\\ 1& 0& \frac{1}{8}\end{array}\right)}$, D=${\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}20& 0& 0\\ 0& 11& 0\\ 0& 0& 11\end{array}\right)}$ und ${\displaystyle {\mathrm{T<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{T<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\left(\begin{array}{ccc}1& \frac{-1}{2}& 1\\ \frac{1}{4}& \frac{1}{2}& 0\\ \frac{1}{10}& \frac{1}{20}& \frac{1}{8}\end{array}\right)}$

(habe daraus ${\displaystyle \sqrt{2}}$ gezogen also nicht irritieren lassen :) )

So ich erhalte zwar eine symmetrische Matrix jedoch ist die Spur nicht 42! :(

Kann mir bitte jemand weiterhelfen????

Hallo,

nun weiß ich nicht, wie Du die Eigenvektoren ausgerechnet hast, aber orthonormal ist Deine Basis jedenfalls nicht.

Gruß

Stephan

nja die müssen ja orthogonal sein. und die zweite und dritte stelle haben wir immer als freie variablen gewählt, und hierfür werden die kanonischen vektoren verwendet.

und dass die vektoren dann orthogonal zu einander sind, ergeben sich die werte -1 und 1/2

und wieso sind die nicht orthonormal? bzw was hab ich wieder falsch gemacht? :(

nja die müssen ja orthogonal sein. und die zweite und dritte stelle haben wir immer als freie variablen gewählt, und hierfür werden die kanonischen vektoren verwendet.

und dass die vektoren dann orthogonal zu einander sind, ergeben sich die werte -1 und 1/2

und wieso sind die nicht orthonormal? bzw was hab ich wieder falsch gemacht? :(

Mindestens ${\displaystyle {\stackrel{\rightharpoonup }{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}_2\circ {\stackrel{\rightharpoonup }{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}_3}$ ist nicht 0 sondern 1/5.

ok klar sollen ja alle sein aber jetzt steig ich gar nimma durch wie ich weitermachen soll....

aber bei der orthonormalbasis ist der fehler oder? sonst kann ich so vorgehen wie ich das hingeschrieben habe?

Deine Eigenvektoren sind richtig. Wenn Du daraus die Matrix S bildest (also die Eigenvektoren bilden die Spalten von S ) und dann S*D*S^-1 berechnest, kommt raus:

${\displaystyle \mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\left(\begin{array}{ccc}15& -2& 4\\ -2& 12& -2\\ 4& -2& 15\end{array}\right)}$

A ist symmetrisch, mit Spur 42 und Determinante 2420.

ok dankeschön!! die aufgabe hat mir nämlich viel zeit gekostet -.- aber abscheinend sollt ich mal mehr aufpassen.

großes Danke!!

Wenn Du als dritten EV das Kreuzprodukt der ersten beiden nimmst, nämlich (-1,-4,-1)^T, dann hast du eine Orthogonalbasis von Eigenvektoren und nach Normierung erhältst Du ${\displaystyle \mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\mathrm{S<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{D<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot {\mathrm{S<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{\mathrm{T<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$, das erspart die Inversion.

Also nehmen wir mal an, dass dein Gram-Schmidt schief ging.