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3x3 matrix, Beweis

Universität / Fachhochschule

Eigenwerte

Tags: Eigenwert

Didgeridoo aktiv_icon

13:58 Uhr, 03.12.2010

Wie kann ich zeigen, dass jede

3 x 3

Matrix mind. einen reellen Eigenwert besitzt?
Die allgemeine Matrix würde ja so aussehen:

(\begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & j \end{matrix}),

wobei die charakteristische Gleichung folgende wäre:

(a - λ) \cdot (e - λ) \cdot (j - λ) + b \cdot f \cdot g + c \cdot d \cdot h - g \cdot (e - λ) \cdot c - h \cdot f \cdot (a - λ) - (j - λ) \cdot d \cdot b = 0

Wie kann ich jetzt zeigen, dass diese Gleichung mind. eine reelle Lösung hat? Ist da der Zwischenwertsatz evt. hilfreich?
Vielen Dank bereits im Voraus!

Didgeridoo aktiv_icon

19:30 Uhr, 03.12.2010

Keiner eine Ahnung?

michaL aktiv_icon

21:36 Uhr, 03.12.2010

Hallo,

eignetlich musst du nur wissen, dass das charakteristische Polynom den Grad 3 hat. Polynome dritten Grades haben IMMER eine reelle Nullstelle. Das liegt daran, dass ihre Grenzwerte für

x \to \pm \infty

gerade vorzeichenvertauscht sind. Und um von z.b.

- \infty

irgendwie nach

\infty

zu kommen, muss man wohl oder übel über die

x

-Achse rüber.

Mfg MIchael

Didgeridoo aktiv_icon

22:12 Uhr, 03.12.2010

Ach so, danke vielmals!

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