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4 Gleichunge mit 4 unbekannten
Universität / Fachhochschule
Tags: Wurzel Satz von Vieta
 
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Hallo, wenn man den Wurzel Satz von Vieta auf ein Polynom 4.ten Grades anwendet, ergibt sich meiner Meinung nach folgendes Gleichungssystem: XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX wenn man jetzt durch a ersetzt und durch und durch und schließlich durch ersetzt, dann ergibt sich meiner Meinung nach folgendes Gleichungssystem: XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX Wenn man sagt, dass nicht gleich null ist, dann könnte man dieses Gleichungssystem noch etwas vereinfachen und erhält schließlich folgendes Gleichungssystem: XXXXXXXXXXXXXXXXX Jetzt hat man 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten. Könnte man nun theoretisch die Gleichungen lösen und die Variablen tatsächlich berechnen? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg." |
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Das sagt meine KI dazu: Ihr Ansatz ist mathematisch interessant, aber es gibt grundlegende Probleme: Das System ist überbestimmt und inkonsistent Sie haben 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten, aber diese entstehen durch eine zirkuläre Substitution. Wenn Sie in den Vieta-Formeln die Nullstellen x₁, x₂, x₃, x₄ durch die Koeffizienten ersetzen, erzwingen Sie, dass die Koeffizienten gleichzeitig die Nullstellen des Polynoms sind. Das bedeutet konkret: Das Polynom x⁴ ax³ bx² cx Soll die Nullstellen haben Warum das problematisch ist: Die vier Gleichungen sind nicht unabhängig voneinander Das System ist nur für sehr spezielle Polynome lösbar Generell führt dies zu Widersprüchen Theoretisch lösbar? Ja, aber nur für ganz bestimmte Polynome. Die meisten zufällig gewählten Koeffizienten werden zu einem inkonsistenten System führen. Praktisches Beispiel: Das einfachste nicht-triviale Beispiel wäre ein Polynom, dessen Koeffizienten tatsächlich seine Nullstellen sind - das ist aber eine sehr einschränkende Bedingung. Das System ist mathematisch definiert, aber in der Regel unlösbar oder führt zu trivialen Lösungen. KI2: Ja, theoretisch könnte man dieses Gleichungssystem mit vier Gleichungen und vier Unbekannten und lösen. Allerdings ist die praktische Umsetzung extrem komplex, da es sich um ein nicht-lineares Gleichungssystem handelt. Es gibt keine einfache, direkte Methode, um es von Hand zu lösen. Gleichungssystem Das von Ihnen aufgestellte, vereinfachte Gleichungssystem lautet: ab+ac+ad+bc+bd+cd=b abc+abd+acd+bcd=−c abc=1 Komplexität und Lösbarkeit Die Gleichungen basieren auf den Wurzelsätzen von Vieta für ein Polynom 4. Grades. Die Vereinfachung Ihrer ersten Gleichung zu und vierten Gleichung (abcd=d zu abc=1) setzt voraus, dass und d=0 ist. Diese Annahmen sind entscheidend für die Struktur Ihres Systems. Da es sich um nicht-lineare Gleichungen handelt, ist die Lösung sehr aufwändig. Man könnte es mit spezialisierten algebraischen Methoden wie Gröbner-Basen oder mit numerischen Verfahren wie dem Newton-Raphson-Verfahren versuchen, um Näherungswerte zu finden. Es ist jedoch unwahrscheinlich, dass es eine einfache analytische Lösung gibt. Das System könnte eine endliche Anzahl von Lösungen haben, aber diese zu finden, würde den Einsatz eines Computer-Algebra-Systems (CAS) wie Maple oder Mathematica erfordern. Selbst dann wäre es eine Herausforderung. Nun als Anregung gedacht. |
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> Die Vereinfachung Ihrer ersten Gleichung ( zu ) [...] setzt voraus, dass Ich denke mal, das mit dem beruhte nicht auf der Annahme , sondern war schlicht ein Rechenfehler. ;-) |
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Danke für Deine Hilfe. Ich habe die Fragestellung bei "Wolfram Alpha" eingegeben. Leider ist die Rechenzeit überschriten um die Lösung zu erhalten muss ich ein Zahlungspflichtiges Abo bestellen. Hat vielleicht jemand die Möglichkeit diese Berechnungen über "Wolfram Alpha" lösen zu lassen? |
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Danke für Deine Hilfe. Ich habe die Fragestellung bei "Wolfram Alpha" eingegeben. Leider ist die Rechenzeit überschriten um die Lösung zu erhalten muss ich ein Zahlungspflichtiges Abo bestellen. Hat vielleicht jemand die Möglichkeit diese Berechnungen über "Wolfram Alpha" lösen zu lassen? |
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ja war ein Fehler von mir |
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Ich glaube mich zu erinnern mal eine ähnliche Olympiadeaufgabe gesehen zu haben, allerdings ein Grad niedriger: Man bestimme alle Tripel reeller Zahlen, so dass Lösungen der kubischen Gleichung sind. So formuliert muss man aber aufpassen: Falls zwei oder mehr der drei Variablen gleich sind, müssen mitnichten die Vieta-Gleichungen für gelten - Beispiel: Bei sind sowohl als auch Lösung, es gilt jedoch nicht !!! |
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Wenn Wolframalpha o.ä. fertig wäre, hattest du mehrere eng bedruckte Seiten mit Formeln. Und was machst Du dann damit? |
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