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4 Kugeln in 3 Löcher verteilen
Universität / Fachhochschule
Tags: Wahrscheinlichkeit
 
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Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim Verteilen von 4 gleichen Kugeln auf 3 Löcher 1 Loch unbesetzt bleibt (egal welches) ? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hi, ich würde sagen, die Wahrscheinlichkeit, dass eine Kugel nicht in ein bestimmtes Loch fällt, ist . Das vier Kugeln nicht in ein bestimmtes Loch fallen dann Das wäre in diesem Fall das mindestens ein Loch frei bleibt. Hoffe das hilft schon mal. Mfg, Scotty |
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Hallo, hier kommt es ganz darauf an, was man unter "verteilen" versteht. Nimmt man die Möglichkeiten, wie die Kugeln verteilt sein können als Gesamtmenge, dann ergibt sich: Es gibt 3 Möglichkeiten, die 4 Kugeln auf genau 3 Löcher zu verteilen, in zwei Löcher genau eine Kugel und ein Loch mit genau 2 Kugeln und für die Auswahl dieses Loches mit den zwei Kugeln hat man eben die drei Möglichkeiten. Es gibt 3 Möglichkeiten, genau eines der drei Löcher ohne Kugel zu lassen, für die anderen zwei Löcher gibt es 3 Möglichkeiten, die beide Löcher nutzen und und 1 bzw. 2 und . Es gibt demzufolge genau Möglichkeiten, genau ein Loch freizulassen. Es gibt genau 3 Möglichkeiten, alle Kugeln in genau einem Loch unterzubrngen. Insgesamt gibt es also Möglichkeiten, die Kugeln zu verteilen. Davon sind 9 Möglichkeiten mit genau einem freien Loch. Demzufolge ist die Wahrscheinlichkeit für genau ein freies Loch . Nimmt man dagegen (wie scotty22) an, dass die Verteilung der einzelnen Kugeln zufällig erfolgt, dann gibt es für jede Kugel 3 gleichwertige Möglichkeiten. Betrachtet man die Kugeln (und das muß dann als unterscheidbare Kugeln erfolgen), dann ergibt sich bei fester Anordnung der Kugeln eine Folge von 4 Ziffern aus dem Wertebereich diese Ziffern stellen das Loch dar, in dem die Kugel letztendlich zum Liegen kommt. Alle Möglichkeiten sind alle "vierstelligen Zahlen" aus den Ziffern und davon gibt es Möglichkeiten. Genau ein Loch ist frei, wenn die Zahl aus genau zwei verschiedenen Ziffern besteht. Da gobt es Möglichkeiten für zwei festgewählte Ziffern. Die "minus" zwei ergeben sich dadurch, dass die Zahlen "aaaa" und "bbbb" bei " " mitgezählt werden, aber bei genau zwei verschiedenen Ziffern nicht erlaubt sind. Da man nun die "fehlende" Ziffer in drei Möglichkeiten auswählen kann, gibt es insgesamt Möglichkeiten, genau ein Loch nicht zu treffen. Demzufolge hat man . Wahrscheinlichkeit für genau ein freies Loch. Wenn die Verteilung noch anders erfolgt, dann erhält (sehr wahrscheinlich) man noch ein anderes Ergebnis! Fazit: Ohne Beschreibung der Verteilung ist die Aufgabe nicht sinnvoll lösbar! |
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Hallo Scotty und Bummerang, danke für eure Antworten. Falls ich doch nicht ganz präzise war, hier nochmal ein Versuch bzw. Ergänzung: Die Verteilung der Kugeln soll zufällig sein / alle Kugeln sind gleich / es ist auch egal, welches Loch frei bleibt. Wenn Scotty das dann so richtig angenommen hat, wäre die Wahrscheinlichkeit dass irgendein Loch frei bleibt: . Siehst du das auch so, Bummerang ? |
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Hallo, "Siehst du das auch so, Bummerang ?" Nein, die sind "höchstens" die Wahrscheinlichkeit, mit keiner Kugel ein bestimmtes Loch zu treffen! Sucht man sich vorher das Loch aus, dann hat man tatsächlich aller Möglichkeiten für die erste Kugel und das selbe für jede weitere. Außerdem wird nicht berücksichtigt, dass auch beide "Restlöcher" getroffen werden müssen! In meinem Post ist das berücksichtigt, indem die "aaaa" und "bbbb" ausgeschlossen wurden bzw. die Möglichkeiten für genau ein freies Loch aufgezählt wurden. Nochmals: "Die Verteilung der Kugeln soll zufällig sein / alle Kugeln sind gleich" ist nicht ausreichend. Du mußt schon das Zufallsexperiment ordentlich beschreiben. Dass alle Kugeln gleich sind, hat mit der Lösung wenig zu tun, manchmal muß man trotzdem die Kugeln als unterscheidbar ansehen! Klassiker dafür ist das Paradoxon mit den Würfeln und der Augensumme! Auch da sind die Würfel nicht unterscheidbar, aber sie müssen unterschieden werden, um die im Experiment gemachten Beobachtungen zu verstehen. |
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Danke euch beiden - hat super geholfen Grüße, Klaus |
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