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4. Ordnung, Anfangswertproblem, DGL

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: Anfangswertproblem, Verfahren nach Euler

Chica-Rabiosa aktiv_icon

15:21 Uhr, 17.06.2017

Guten Tag,

gegeben habe ich folgendes Anfangswertproblem 4. Ordnung:

t \frac{d^{4} y}{d t^{4}} - 10 \frac{d^{3} y}{d t^{3}} + t^{2} \frac{d y}{d t} = t sin (t)

a)

Überführen Sie das Anfangswertproblem in ein System von Anfangswertproblemen erster Ordnung.

b)

Welcher wesentlicher Vorteil hat die Darstellung von beliebigen Anfangswertproblemen in einem System von Anfangswertproblemen 1. Ordnung?

c)

Überführen Sie das Euler-Verfahren in eine Form, damit es auf das System von Anfangswertproblemen nach

a)

anwendbar ist.

Erstmal kann ich umschreiben:

t y'''' - 10 y''' + t^{2} y' - t sin (t) = 0

Und durch

t

y'''' - 10 \frac{y'''}{t} + t y' - sin (t) = 0

ich definiere mir also einen Vektor

v' = F (t, v (t))

ist, mit

(\begin{matrix} v_{0} \\ v_{1} \\ v_{2} \end{matrix})' = F (t, v (t)) = (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ t v_{0} (t) - 10 \frac{v_{1} (t)}{t} - sin (t) \end{matrix})

Stimmt das denn?

Bei

b)

ist mir an sich klar, dass grundsätztlich Anfangswertprobleme erster Ordnung, deutlich einfacher zu lösen sind als Anfangswertprobleme höherer Ordnung. Aber ob das so als Antwort ausreichend ist?

Der letzte Aufgabenteil

(c)

erscheint mir dahingehend abstrus, da wir das Eulerverfahren auf das System von Anfangswertprobleme nach

a)

anwendbar machen sollen. Aber das Eulerverfahren ist doch schon so ausgelegt, dass es für Anfangswertprobleme 1. Ordnung ausgelegt ist? Was wird da verlangt?

Vielen Dank für Hilfe im voraus,

Chica-Rabiosa

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

19:35 Uhr, 17.06.2017

Hallo
da du eine Dgl 4 der Ordnung hast ist das System auch 3 fach.
du musst angeben

V_{1} = Y

v_{2} = y'

usw
dann schreib lieber in der Form

\vec{v}' = A \cdot \vec{v} + \vec{B (t)}

dann schreibe was du unter

F

damit verstehen willst.
wenn ihr das Euler Verfahren bisher nur für einfache Dgl erster Ordnung behandelt habt, musst du es entsprechend umschreiben.
Natürlich kannst du die Dgl auch als Dgl dritter Ordnung für

y'

auffassen, aber dann würde um

y (t)

zu bestimmen noch wieder eine Integration fehlen.
Gruß ledum

Chica-Rabiosa aktiv_icon

20:02 Uhr, 17.06.2017

Hey ledum,

danke für's Antworten.

Ja das Euler-Verfahren ist auf Anfangswertproblemen erster Ordnung definiert, sprich

y' = f (t, y)

Also durch

t

geteilt:

y'''' - 10 \frac{y'''}{t} + t y' - sin (t) = 0

ich definiere mir also einen Vektor

\vec{v}' = A \cdot \vec{v} + \vec{B} (t)

mit

\vec{v}' = (\begin{matrix} v_{0} \\ v_{1} \\ v_{3} \\ v_{4} \end{matrix})'

und

A = (\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & t^{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 10 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & t \end{matrix})

sowie

\vec{B} (t) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ - sin (t) \end{matrix})

Mich verwirrt jetzt, dass wir keine Anfangsbedingungen haben, bin mir also unsicher.

Ist denn meine Antwort bei

b)

plausibel und ausreichend?

Grüße

Chica-Rabiosa

ledum aktiv_icon

15:54 Uhr, 18.06.2017

Hallo
Deine Matrix ist falsch. multipliziere mal aus dann steht da

z

. B.

v_{0}' = 0

aber richtig ist

v_{0}' = v_{1}

du solltest wirklich dazuschreiben

v_{0} = y

v_{1} = y' = v_{0}'

v_{2} = y'' = v_{1}'

v_{3} = y''' = v_{2}'

v_{3}' = y'''' = ... ...

.
und dann die Matrix hinschreiben besser zuerst in der form

y'''' = ... .

. aufschreiben.
dabei

t = 0

ausnehmen
Wenn du das richtig hast schreib den ersten Schritt der Euler Lösung hin und einen allgemeinen Schritt, also von

n

nach

n + 1

.
das ist, was sie von die wollen
Gruß ledum

Chica-Rabiosa aktiv_icon

09:06 Uhr, 19.06.2017

Hallo.
Ja das war nichts.

(\begin{matrix} v_{0} \\ v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{matrix})' = (\begin{matrix} y' \\ y'' \\ y''' \\ y'''' \end{matrix}) = (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \\ v_{4} \end{matrix})

so ist es korrekt.

\vec{B} (t) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ - sin (t) \end{matrix})

A = (\begin{matrix} t & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - \frac{10}{t} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})

\vec{v}' = A \cdot \vec{v} + \vec{B} (t)

So müsste es stimmen? Nur ich frage mich immer in welche Komponente ich dann die Störfunktion aufschreibe? Also in welche Komponente gehört das

- sin (t)

Wenn das korrekt ist kann ich es mit Herrn Euler versuchen.

Den ersten Schritt kann ich ja aufschreiben:

Also allgemein erstmal,

y' = f (t, y) a \leq t \leq b, y (a) = α

w_{i + 1} = w_{i} + h f (t_{i}, w_{i})

w_{0} = α

mit

i = 0,1,2, ..., m - 1

und

h = \frac{b - a}{m}

erste Schritt

i = 0

\Rightarrow

w_{1} = w_{0} + h f (t_{0}, w_{0})

zweite Schritt

erste Schritt

i = 1

\Rightarrow

w_{2} = w_{1} + h f (t_{1}, w_{1})

Aber wie ist das jetzt gemeint überführen Sie das Euler-Verfahren in eine Form, damit es auf das System von Anfangswertproblemen nach

a)

anwendbar ist?

Danke ledum!

Grüße

Chica-Rabiosa

ledum aktiv_icon

13:08 Uhr, 19.06.2017

Hallo
deine Matrix ist noch immer falsch jetzt steht da

v_{0}' = t

aber richtig ist

v_{0}' = v_{1}

schreib es doch mal erst in der Form wie ich schon gezeigt.

v_{0}' = v_{1}, v_{1}' = v_{2} ...

v 3' = t \cdot v_{1} + 0 \cdot v_{2} + \frac{10}{t} \cdot v_{3} + sin (t)

wenn du ein Matrix hast, multipliziere sie mit

\vec{v}

aus, um zu kontrollieren.

Dann schreib das Eulerferfahren genau mit den Matrizen und

B (t)

hin.
nimm einfach Anfangswerte

v_{0} (t_{0}), v_{1} (t_{0}), v_{2} (t_{0}), v_{3} (t_{0})

wenn du das mit

f (t, v)

schreiben willst ausdrücklich dein

f

hinschreiben!!
und da du ja

w_{1}

und

w 2

hinschreiben kannst auch

w_{k + 1}

aus

w_{k}

Gruß ledum

Chica-Rabiosa aktiv_icon

16:46 Uhr, 19.06.2017

Hallo,

aber in deinem letzten Post scheint auch was mit den Vorzeichen durcheinander zu sein?

Wenn ich

y'''' - \frac{10 \cdot y'''}{t} + t \cdot y' - sin (t) = 0

habe, dann sollte

v_{4} = v_{3}' = y'''' = \frac{10 \cdot y'''}{t} - t \cdot y' + sin (t)

sein.

(\begin{matrix} v_{0} \\ v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{matrix})' = (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \\ - t \cdot v_{1} + 0 \cdot v_{2} + \frac{10 \cdot v_{3}}{t} + sin (t) \end{matrix})

So müsste es jetzt korrekt sein. Die ersten drei Zeilen sind ja reine Formalität. In der letzten Komponente kommt dann die ganze DGL zum Vorschein. Ausmultipliziert stimmt es jetzt, zur Kontrolle.

\vec{v}' = A \cdot \vec{v} + \vec{B} (t)

Und die zugehörige Matrix A nochmal:

A = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ - t & 0 & \frac{10}{t} \end{matrix})

mit

\vec{B} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ sin (t) \end{matrix})

Jetzt bin ich mir ziemlich sicher, dass es stimmt.

Jetzt soll ich das Eulerverfahren genau mit den Matrizen und

B (t)

hinschreiben?

Da bin ich jetzt am Grübeln. Gemeint ist bestimmt den Euler für jede DGL erster Ordnung hinzuschreiben, also wir haben ja die DGL 4. Ordnung auf ein System mit 4 DGL's erster Ordnung überführt.

Also im Prinzip muss ich dann hinschreiben:

(\begin{matrix} v_{0} \\ v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{matrix})' = d e n e i n z e l n e n F u n k t i o n e n

Aber wie indiziere ich das jetzt? Und wie behandele ich dann die jeweiligen Approximationen

w_{1} ... w_{n}

? Der einzelnen Funktionen/DGL's?

Danke ledum wie immer herzlich!

Chica-Rabiosa

ledum aktiv_icon

17:19 Uhr, 19.06.2017

Hallo
du schreibst es entweder in Vektorschreibweise

\vec{v (t_{0})}

gegebene Anfangsbedingungen.
Schrittweite

Δ t = h

t_{1} = t_{0} + h

t_{k + 1} = t_{k} + h = t_{0} + (k + 1) \cdot h

Näherungslösung

w (t_{k}) = w_{k}

w_{1} = A \cdot h \cdot \vec{v (t_{0})} + B (t_{0})

ob du A explizit hinschreibst. oder nur einmal ist Geschmacksache, zum späteren rechnen besser explizit.

w_{k + 1} = ... ... ... . .

.
oder du nennst deine große Klammer

\vec{f (\vec{v}, t)}

und schreibst es damit.
du schreibst nie Vektoren, dann solltest du wenigstens einmal sagen, was

w

bzw

v

ist
denn

w_{0}

kann

\vec{w (t_{0})}

sein oder die erste Komponente von

\vec{w}

Gruß ledum

Chica-Rabiosa aktiv_icon

17:53 Uhr, 19.06.2017

Hallo,

so ganz kann ich den Bedingungen und Annahmen nicht folgen.

Ich halte fest der Vektor der Anfangsbedingungen

\vec{v} (t_{0})

ist definiert als:

\vec{v} (t_{0}) = (\begin{matrix} v_{0} (t_{0}) \\ v_{1} (t_{0}) \\ v_{2} (t_{0}) \\ v_{0} (t_{0}) \end{matrix})

Jetzt ist:

w_{1} = A \cdot h \cdot \vec{v} (t_{0}) + \vec{B} (t_{0}) = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ - t & 0 & \frac{10}{t} \end{matrix}) \cdot h \cdot (\begin{matrix} v_{0} (t_{0}) \\ v_{1} (t_{0}) \\ v_{2} (t_{0}) \\ v_{0} (t_{0}) \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ sin (t_{0}) \end{matrix})

so?

Wie immer danke ledum!

Grüße

Chica-Rabiosa

ledum aktiv_icon

22:18 Uhr, 19.06.2017

Hallo
ja, richtig, nur auch in der Matrix muss

t_{0}

statt

t

stehen.
und deine letzte Komponente von

\vec{v} (t_{0})

ist wohl ein Tipfehler.
Gruß ledum

Chica-Rabiosa aktiv_icon

23:20 Uhr, 19.06.2017

Hallo ledum,

ja da sind Tippfehler. Danke ledum :-)

c)

w_{1} = A \cdot h \cdot \vec{v} (t_{0}) + \vec{B} (t_{0}) = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ - t_{0} & 0 & \frac{10}{t_{0}} \end{matrix}) \cdot h \cdot (\begin{matrix} v_{0} (t_{0}) \\ v_{1} (t_{0}) \\ v_{2} (t_{0}) \\ v_{3} (t_{0}) \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ sin (t_{0}) \end{matrix})

Ich erkenne aber nicht wirklich wieso das der Euler-Approximation entspricht?

Und was ist mit der

b)

? Reicht da eigentlich meine Antwort aus dem #Startbeitrag?

Grüße

Chica-Rabiosa

ledum aktiv_icon

16:11 Uhr, 20.06.2017

Hallo
Wenn du es besser siehst, mach es mit der Funktion,

F (\vec{v}, t)

di du ja auch aufgeschrieben hast.
von der Idee her rechnest du für die einzelnen Komponenten jeweils die Steigung aus im Punkt , an dem du gerade bist und gehst dann auf der Tangente einen Schritt

h

weiter. Dann hat du einen neuen (genäherten Punkt, und rechnest da wieder die Steigungen aus .
oder wenn du an

y''''

denkst rechnest du aus der Anfangsbedungung für

y''' y'''

aus daraus das neue

y'''

dann damit das neue

y''

usw.
zu

b)

zu Anfangswerten 1. Ordnung gibt es Beweise für die Eindeutigkeit von Lösungen (Picard Lindelöf) und viele fertige Lösungsprogramme in fast allen Programmiersprachen.
Gruß ledum

Chica-Rabiosa aktiv_icon

17:19 Uhr, 20.06.2017

Hey, also einmal die Variante:

w_{1} = A \cdot h \cdot \vec{v} (t_{0}) + \vec{B} (t_{0}) = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ - t_{0} & 0 & \frac{10}{t_{0}} \end{matrix}) \cdot h \cdot (\begin{matrix} v_{0} (t_{0}) \\ v_{1} (t_{0}) \\ v_{2} (t_{0}) \\ v_{3} (t_{0}) \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ sin (t_{0}) \end{matrix})

die ist ja definitiv korrekt?

Und die andere wäre:

v' = F (t, v (t))

w_{1} = w_{0} + h \cdot F (t_{i}, w_{i})

und

w_{0} = α,

wobei

α = y (a)

Nur wie führe ich das jetzt aus?

F (t, v (t)) = (\begin{matrix} v_{1} (t) \\ v_{2} (t) \\ v_{3} (t) \\ - t \cdot v_{1} (t) + \frac{10 \cdot v_{3} (t)}{t} + sin (t) \end{matrix})

Also wie indiziere ich das

t_{i}, w_{i}

und was ist mit meinem

w_{0}

?

Zu

b)

Ja und die Kernaussage bzw. die Schlussfolgerung ist doch, dass man DGL's erster Ordnung schlicht einfacher lösen kann?

Was würde ich nur ohne dich machen ledum, danke! Dankeschön, wirklich.

Grüße!

Chica-Rabiosa

ledum aktiv_icon

21:43 Uhr, 20.06.2017

Hallo
ich bin nicht gewohnt, den Näherungslösungen für

v

den neuen Namen

w

zu geben.
aber wenn das bei euch üblich ist, dann muss natürlich außß34

w_{0} = y_{0} = y (t_{0})

(da noch ein a einführen find ich schlecht.
dann muss natürlich auch in

F

nicht

v

sondern

w

stehen
und natürlich fehlt noch das allgemeine

w_{i + 1}

und wie du die

w

und

t

indizerst ist doch klar, w_ß ist gegeben, daraus

w_{1}

ud aus

w_{i} (t_{i})

dann

w_{i + 1} (t_{i + 1}

nicht anders als im ersten Schritt.
natürlich sollte irgendwo stehen

t_{i + 1} = t_{i} + h

b)

da du kein anderes Verfahren kennst, ist die Aussage ( schlicht einfacher) gewagt, ich würde es so ähnlich formulieren wie ich schon sagte. ich finde besonders wichtig, bevor man losrennet, etwas über die Eindeutigkeit zu wissen.
Gruß ledum

Chica-Rabiosa aktiv_icon

07:35 Uhr, 21.06.2017

Morgen ledum,

wie erwähnt bei der Indizierung komme ich des öfteren durcheinander. Also ich versuche dann mal es auf die Notation:

y' = F (t, y);

Intervall

a \leq t \leq b; y (a) = α

w_{i + 1} = w_{i} + h \cdot F (t_{i}, w_{i})

w_{0} = α

zu beziehen.

Also:

w_{0} = y_{0} (t_{0}) = y (t_{0}) = α

w' = F (t, w (t))

w_{i + 1} = w_{i} + h \cdot F (t_{i}, w_{i})

Und jetzt auf die Aufgabe bezogen doch:

F (t, w (t)) = (\begin{matrix} w_{1} (t) \\ w_{2} (t) \\ w_{3} (t) \\ - t \cdot w_{1} (t) + \frac{10 \cdot w_{3} (t)}{t} + sin (t) \end{matrix})

w_{i + 1} = w_{i} + h \cdot (\begin{matrix} w_{1} (t) \\ w_{2} (t) \\ w_{3} (t) \\ - t \cdot w_{1} (t) + \frac{10 \cdot w_{3} (t)}{t} + sin (t) \end{matrix})

Geht das so? Es ist ja allgemein für die Aufgabe angepasst?

Zu

b)

Ja DGL's erster Ordnung haben bekannte Lösungsverfahren, die die Eindeutigkeit von Lösungen gewährleisten und somit leicht in der Anwendung verglichen mit DGL's höherer Ordnung sind?

Herzlichen Dank.

Grüße

Chica-Rabiosa

ledum aktiv_icon

12:41 Uhr, 21.06.2017

Hallo
es fehlt: ich nenne die Näherungslösungen für

y (t_{i}) w_{i} (t_{i})

2. es fehlt die Umsetzung

w_{0} = y, w_{1} = Y'

usw am Anfang. und mich stört weiterhin, dass du zwischen den Komponenten

w_{i}

und dem Vektor

\vec{w_{i}}

keinen Unterschied machst.
bei

w_{i + 1}

darf in

F

nicht

t

stehen, sondern

t_{i}

besser find ich auch statt

w_{i}

immer

w_{i} (t_{i})

zu schreiben. dazu die Definition von

t_{i + 1} = t_{i} + h

b)

die Aussage "die die Eindeutigkeit von Lösungen gewährleisten" ist falsch. Richtig ist, dass man mit Picard Lindelöf feststellen kann ob eine Dgl 1. Ordnung mit gegebenen Anfangsb.. eindeutige Lösungen hat, Das Lösungsverfahren findet immer nur eine Lösung, auch wenn die nicht eindeutig ist. Zudem kann man die Genauigkeit des Verfahrens abschätzen
Gruß ledum

Chica-Rabiosa aktiv_icon

12:25 Uhr, 22.06.2017

Guten Tag ledum,

ich versuche mal erneut. Aber das ist alles so uneindeutig finde ich. Ich sitze da immer stundenland davor und weiß nicht wie ich sowas umsetzen soll. Was ich jetzt auch noch nicht verstehe noch ist wie ich zwischen

w_{i}

und dem Vektor

{\vec{w}}_{i}

unterscheiden soll? Ich meine der Vektor ist ja auch nicht gleich der Approximation

w_{i + 1}

t_{i + 1} = t_{i} + h

sprich einen Funktionswert um die Schrittweite

h

weiter.

y' = F (t_{i}, y);

Intervall

a \leq t_{i} \leq b; y (a) = α

w_{i + 1} = w_{i} (t) + h \cdot F (t_{i}, w_{i})

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Umsetzung:

w_{0} = y

w_{1} = y'

w_{2} = y''

w_{3} = y'''

w_{4} = y''''

Mit den jeweiligen Anfangsbedinungen allgemein, weiß ich nicht, wie ich das am besten aufschreiben soll.

w' = F (t, w (t_{i})) = (\begin{matrix} w_{0} (t_{i}) \\ w_{1} (t_{i}) \\ w_{2} (t_{i}) \\ w_{3} (t_{i}) \end{matrix})'

Und jetzt auf die Aufgabe bezogen doch:

F (t, w (t_{i})) = (\begin{matrix} w_{1} (t_{i}) \\ w_{2} (t_{i}) \\ w_{3} (t_{i}) \\ - t_{i} \cdot w_{1} (t_{i}) + \frac{10 \cdot w_{3} (t_{i})}{t_{i}} + sin (t_{i}) \end{matrix})

w_{i + 1} = w_{i} (t) + h \cdot (\begin{matrix} w_{1} (t_{i + 1}) \\ w_{2} (t_{i + 1}) \\ w_{3} (t_{i + 1}) \\ - t_{i + 1} \cdot w_{1} (t_{i + 1}) + \frac{10 \cdot w_{3} (t_{i + 1})}{t_{i}} + sin (t_{i + 1}) \end{matrix})

So sollte es auf jeden Fall besser sein?

b)

Wir hatten Picard-Lindelöf gar nicht. Daher weiß ich jetzt immer noch nicht wie ich das jetzt am Besten beantworten soll? Also auf jeden Fall solle ich erwähnen

i)

allgemein einfacher als DGL's höherer Ordnung
ii) bekannte Lösungsmethoden von DGL's erster Ordnung durch verschiedene Verfahren
iii) die Genauigkeit der Lösung ist abschätzbar
iv) ?

Danke, danke,

Chica-Rabiosa

ledum aktiv_icon

16:16 Uhr, 22.06.2017

Hallo
im Prinzip ist es so richtig, weiterhin stört mich dass du in

F

den Vektor

w

ausschreibst, davor aber einfach nur

w_{i}

so steht dann etwa bei

w_{3} = w_{2} +

und dann in

F

ein anderes

w_{2}

warum gehst du darauf nicht ein, entweder konsequent

w_{i}

ist Vektor oder konsequent

w = {(w_{0}, w_{1}, w_{2}, w_{3})}^{T}

Wenn ihr keinen Eindeutigkeitsbeweis hattet fällt IV weg, aber

i)

kannst du ja nicht wirklich wissen . ich würde die fertigen Lösungsmethoden in den üblichen Programmiersprachen als

i)

nehmen.
Gruß ledum

ledum aktiv_icon

16:17 Uhr, 22.06.2017

Hallo
im Prinzip ist es so richtig, weiterhin stört mich dass du in

F

den Vektor

w

ausschreibst, davor aber einfach nur

w_{i}

so steht dann etwa bei

w_{3} = w_{2} +

und dann in

F

ein anderes

w_{2}

warum gehst du darauf nicht ein, entweder konsequent

w_{i}

ist Vektor oder konsequent

w = {(w_{0}, w_{1}, w_{2}, w_{3})}^{T}

Wenn ihr keinen Eindeutigkeitsbeweis hattet fällt IV weg, aber

i)

kannst du ja nicht wirklich wissen . ich würde die fertigen Lösungsmethoden in den üblichen Programmiersprachen als

i)

nehmen.
Gruß ledum

Chica-Rabiosa aktiv_icon

16:35 Uhr, 22.06.2017

Hallo ledum,

okay und was ist eig mit den jeweiligen Anfangsbedinungen allgemein?

Meinst du dann so:

w_{i + 1} = (\begin{matrix} w_{0} (t_{i + 1}) \\ w_{1} (t_{i + 1}) \\ w_{2} (t_{i + 1}) \\ w_{3} (t_{i + 1}) \end{matrix}) + h \cdot (\begin{matrix} w_{1} (t_{i + 1}) \\ w_{2} (t_{i + 1}) \\ w_{3} (t_{i + 1}) \\ - t_{i + 1} \cdot w_{1} (t_{i + 1}) + \frac{10 \cdot w_{3} (t_{i + 1})}{t_{i}} + sin (t_{i + 1}) \end{matrix})

So ist das gemeint?

b)

gut dann mache ich es so.

Grüße und vielen Dank!

Chica-Rabiosa

ledum aktiv_icon

00:44 Uhr, 23.06.2017

ok und hak ab
Gruß ledum

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