Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » 4x4 Matrix multiplikation mit Vektor

4x4 Matrix multiplikation mit Vektor

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Matritze, Matritzen, Matrix, Matrizenmultiplikation, Matrizenrechnung, Vektor, Vektorrechnung

anonymous

15:34 Uhr, 06.04.2021

Ich habe wärend der Mathe Klausurbesprechung etwas nicht verstanden:

Wir mussten die Inverse einer

4 x 4

Matrix berechnen, die ich auch richtig berechnet habe und sollten dann ein LGS mit der Matrix und dem gegebenen Vektor berechnen.

Nun verstehe ich nicht, was ich dort falsch gemacht habe. Mein Prof meinete, dass was ich gemacht habe nicht anwendbar ist und hat mich dann aus Zeitgründen abgewimmelt.

Nun das gegebene LGS, Matrix und Vektor:

A =

(1; 1; 1; 1)

(- 1; 2; 2; 2)

(0; 0; 2; 1)

(0; 0; 1; 1)

b =

(1)

(2)

(3)

(4)

Ich hoffe die Matrix und der Vektor sind so erkennbar, da ich nicht weiß, wie ich diese hier in der richtigen Form darstelle.

LGS:

x =

+ b

Nun sollten wir A von der Einheitsmatrix abziehen und so die Matrix

(E - A)

bilden.

(E - A) =

(0; - 1; - 1; - 1)

(1; - 1; - 2; - 2)

(0; 0; - 1; - 1)

(0; 0; - 1; 0)

Auch das wurde als richtig anerkannt.
Meine berechnete Inverse, die auch von denen als richtig gesehen wurde lautet:

{(E - A)}^{- 1} =

(- 1; 1; - 1; 0)

(- 1; 0; 1; 0)

(0; 0; 0; - 1)

(0; 0; - 1; 1)

Nun zum Punkt der Frage, was nachfolgend der Fehler ist und und nicht anwendbar ist.
Mein Prof meinte, dass der Vektor so nicht mit der Matrix(Inverse) multiplizierbar ist.

Umstellen des LGS:
x=Ax+b |-Ax
x-Ax=b |setze Einheitsmatrix

E

vor

x

bzw multipliziere mit der Einheitsmatrix
Ex-Ax=b | Umformen

x (E - A) = b \Rightarrow x = b \cdot {(E - A)}^{- 1}

x = b \cdot {(E - A)}^{- 1} =

(1) \cdot (- 1; 1; - 1; 0) = (- 1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 \pm 1 \cdot 3 + 0 \cdot 4) = (x 1) = (- 2)

(2) \cdot (- 1; 0; 1; 0) = (- 1 \cdot 1 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot 3 + 0 \cdot 4) = (x 2) = (2)

(3) \cdot (0; 0; 0; - 1) = (0 \cdot 1 + 0 \cdot 2 + 0 \cdot 3 \pm 1 \cdot 4) = (x 3) = (- 4)

(4) \cdot (0; 0; - 1; 1) = (0 \cdot 1 + 0 \cdot 2 \pm 1 \cdot 3 + 1 \cdot 4) = (x 4) = (1)

somit ist die Lösungsmenge des LGS der Vektor:

(- 2)

(2)

(- 4)

(1)

Warum ist das Falsch?

Nochmals entschuldigung Wegen der Darstellungen der Matritzen.

Und noch eine weitere Frage, ist die Regel von Saurus auf eine

4 x 4

Matrix anwendbar, da ich das in der Klausur gemacht habe und die richtige Lösung erhalten habe, mein Prof aber sagte, dass das Zufall ist?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Determinante und inverse Matrix
Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren
Matrizen - Multiplikation
Parallelverschiebung

Matrizen - Determinante und inverse Matrix
Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren
Matrizen - Multiplikation

Nick76 aktiv_icon

17:25 Uhr, 06.04.2021

Die letzte Umformung ist falsch.
Es gilt:

E \cdot x - A \cdot x = b \Leftrightarrow (E - A) \cdot x = b

Die Matrix steht also links vom Vektor, ansonsten kann man sie nicht miteinander multiplizieren. Will man beispielsweise das Matrixprodukt

A \cdot B

berechnen, so muss die Anzahl der Spalten von A gleich der Anzahl der Zeilen von

B

sein (Vektoren lassen sich als Matrix mit 1 Spalte und entsprechend vielen Zeilen auffassen).

Multipliziert man jetzt von links mit der Inversen, ergibt sich:

{(E - A)}^{- 1} (E - A) \cdot x = {(E - A)}^{- 1} \cdot b \Leftrightarrow x = {(E - A)}^{- 1} \cdot b

Die Regel von Sarrus lässt sich nur auf 3x3-Matrizen anwenden.
Für beliebige (n,n)-Matrizen gibt es den Laplaceschen Entwicklungssatz.

Gruß

Nick

1533055

1533049

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?