 |
 |
 |
 |
 |
 |
Startseite » Forum » 4x5 Matrix eindeutig lösbar? (+ Zusatzfrage)
4x5 Matrix eindeutig lösbar? (+ Zusatzfrage)
Universität / Fachhochschule
Matrizenrechnung
Tags: Matrizenrechnung
 
|
  |
|---|
|
Hallo Leute, ich rechne gerade Aufgaben durch, weil ich mich auf meine Klausur vorbereit und habe folgendes Problem: "Seien A,B element M (3x5;K) Matrizen, beide vom Rang 2. Man zeige, dass die Gleichungssysteme A x = 0 und B x = 0 eine gemeinsame, nichttriviale Lösung in K^5 haben." Also, meine Ansätze: A und B sind 2 Matrizen mit 2 Zeilen und 5 Spalten (Rang 2 => 2 linear unabhängige Zeilen). Ax = 0 und Bx = 0 wären ja dann diese Matrizen, erweitert um die Homogenität (also erweiterte Koeffizientenmatrix mit 2 Zeilen, 6 Spalten, die letzte Spalte 2 0en) Die triviale Lösung wäre: Einfach alle Unbekannten = 0 Nun mein Ansatz: Wenn sie eine "gemeinsame" lösung haben, würde ich ein 4 zeiliges Gleicungssystem aufstellen, Ax und Bx übereinander, dahinter die Homogenität. Aber wie kann dann ein 4x5 Gleichungssytem eine eindeutige Lösung haben (nichttrivial)? Das will mir nicht in den Kopf. Ich hoffe, jemand hat den besonderen Funken, der meine Glühbirne anmacht. Danke im Voraus. P.S.: Eine andere Aufgabe war A element M (n;Z) eine n x n Matrix mit ganzzahligen Einträgen. Dann gilt genau dann det A = +- 1 , wenn A^(-1) existiert und auch nur ganzzahlige Einträge hat) Mein ihr, es reicht, dass mit dem Cramerverfahren zu begründen, dass die einzelnen Determinanten hernimmt und daraus eine neue Matrix bildet und diese anschließend mit 1 / det A multipliziert. Denn, nur wenn det A = +-1 -> 1 / det A ganzzahlig und im Endeffekt dann alle Einträge der Matrix ganzzahlig. Danke :) Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
|
 |
|
Hallo, habt ihr denn schon den Kern-Bild-Satz (auch gern Dimensionssatz) erarbeitet? Ist , so ist wegen der Dimensionen des Bildes nämlich . Gleiches gilt für Nun sind also und zwei (jeweils) dreidimensionale Untervektorräume eines 5-dimensionalen Raumes. Da muss man doch was über den Durchschnitt sagen können... Mfg Michael |
 |
|
Ok, hab mir den Dimensionssatz nochmal angeschaut und gelernt. dim A = dim Ker (f A) + dim Bild(f A) umgeformt also dim Ker (f A) = dim A - dim Bild (f A) und wie du schon geschrieben hast, ist der Kern 3dimensional. Wenn ich 2 3dimensionale Kerne in einem 5dim Körper habe, müsste ihr Schnitt doch die eindeutige Lösung enthalten, die Abbildungen sind ja auch Ax = 0 und Bx = 0, also auf den "Nullvektor". Lieg ich da annähernd richtig? Kann mir wer noch kurz ein Kommentar zu der 2. Aufgabe geben? |
|
|
|
Hallo, ein homogenes Gleichungssystem hat nichttriviale Lösungen, wenn es nicht eindeutig lösbar ist, also wenn es neben der trivialen Lösung (Nullvektor) noch weitere gibt. Und das ist eben bei einem -System der Fall. Ein AlternativBeweis geht auch mit Hilfe des Dimensionssatzes (Rang DimKern=DimRaum) Gruß pwm |
 |
| Das Problem ist, dass man zeigen soll, dass die Lösung "eindeutig" ist. Dass man bei einer 4x5 Matrix unendlich viele Lösungen hat, weil man eine Unbekannte immer selbst wählen kann bzw, die anderen in Abhängigkeit von ihr angeben kann ist mir klar ;) |
|
|
|
Du hast zwei UVR(die Kerne jeweils) eines K^5, es gibt die Dimensionsformel für UVR namlich Da die Dimension des VR maximal 5 ist muss der Schnitt der UVRe mindestens Dimension 1 haben. => es gibt x die Ax=0 und Bx=0 erfüllen |
982978
982545