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5 Mal Münzwurf, Doppelbelegung eines Eintrages

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: Erwartungswert, Münzwurf

 
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tommy40629

tommy40629 aktiv_icon

22:48 Uhr, 02.01.2015

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Hi,

es geht um die Aufgabe im Bild.

Ich weiß nicht genau, wie man die einzelnen Möglichkeiten
berechnet.

Man hat ja dieses Tupel (x1,x2,x3,x4,x5)

Die Einträge x1,x2,x3 werden durch die Zufallsvariable X belegt und die Einträge x3,x4,x5 werden durch die Zufallsvariable Y belegt.

Der Eintrag x3 wird also von X und Y belegt.

Und genau das macht die Berechnung schwer, weil man nicht einfach die
Bernoulliverteilung für den 5-fachen Münzwurf benutzen kann.
Weil man beachten muss, dass x3 nicht gleichzeitig mit Wappen und Zahl belegt ist.

P(X=0) und P(Y=0):
------------------------
Wenn P(X = genau 0 mal Wappen) und P(Y = genau 0 mal Zahl) hat, dann wirkt sich dies auf das Tupel so aus:

(Z,Z,Z) für X und
(W,W,W) für Y
x3 wird hier mit Z UND W belegt, das geht nicht.
Also ist die W-keit Null.
Aber wie berechnet man das für das ganze Tupel (x1,x2,x3,x4,x5)??
Wie kommt man mit einer Rechnung darauf??

Ich würde in einer Klausur sagen, dass die W-keit Null ist, weil der Eintrag x3 entweder Wappen oder Zahl annehmen kann, aber nicht Wappen und Kopf zur selben Zeit.


P(X=1) und P(Y=1):
------------------------
Wenn P(X = genau 1 mal Wappen) und P(Y = genau 1 mal Zahl) hat, dann wirkt sich dies auf das Tupel so aus:

Möglichkeiten für X, genau 1 mal Wappen
-----------------------------------------
Davon gibt es 3 Möglichkeiten:
ZWZ
ZZW
WZZ

Möglichkeiten für Y, genau 1 mal Zahl
----------------------------------------
Davon gibt es auch 3 Möglichkeiten:
ZWW
WWZ
WZW

Nun muss man irgendwie herausfinden, ob es Möglichkeiten gibt, wo
der Eintrag x3 mit Zahl UND Wappen gleicbzeitig belegt wird.

Um aus den Möglichkeiten für X und Y das Tupel (x1,x2,x3,x4,x5) zu konstruieren
kombiniert man jeder Möglichkeit von X mit jeder Möglichkeit von Y.

Man hat dann insgesamt 9 mögliche Tupel (x1,x2,x3,x4,x5). Inklusive Tupel mit Doppelbelegung von x3.

Durch Hinschauen sieht man, dass bei diesen 5 Möglichkeiten x3 doppelt gelegt ist:
ZWZ und WWZ
ZWZ und WZW

ZZW und ZWW

WZZ und WWZ
WZZ und WZW

Also fallen von 9 Möglichkeiten 5 Möglichkeiten weg => es gibt für
P(X=1) und P(Y=1) 4 Möglichkeiten.
Die W-keit für eine Möglichkeit beträgt 4*(12)5=432 genau wie in der Tabelle.


Ich habe hier eine Variante mit einer teilweisen Berechnung:
--------------------------------------------------------------------------------
P(X=2 mal Wappen) und P(Y=2 mal Zahl)

WWZ------------------------------------ZZW
WZW------------------------------------WZZ
ZWW------------------------------------ZWZ

Es gibt von beiden Varianten, 3!/2!=3 Möglichkeiten.
Insgesamt haben wir 3*3=9 Mögliche für das 5-er
Tupel, inklusive der Doppelbelegungen vom
Eintrag x3.

Aufzählung der unbrauchbaren Möglichkeiten:

Möglichkeiten, wo bei WWZ, Z an letzter Stelle steht: eine
Möglichkeiten, wo bei WZZ, W an erster Stelle steht: eine
Insgesamt 1*1=1 Möglichkeiten, für das 5-er Tupel

Möglichkeiten, wo bei WZW, W an letzter Stelle steht: zwei
Möglichkeiten, wo bei ZWZ, Z an erster Stelle steht: zwei
Insgesamt 2*2=4 Möglichkeiten, für das 5-er Tupel

Also 5 unbrauchbare Möglichkeiten von 9 => es gibt 4 brauchbare Möglichkeiten.

Eine Möglichkeit der Berechnung der unbrauchbaren und der brauchbaren Möglichkeiten wäre eine Abbildung f zu definieren.

f(a,b),a,b∈W,Z
f(a,b)=1,wenna=bundf(a,b)=0,wenna≠b

Durch aufsummieren der 1-er erhält man die Anzal der brauchbaren Möglichkeiten, die man mit (12)5 multipliziert.


Mehr Ideen habe ich nicht.


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Antwort
anonymous

anonymous

00:02 Uhr, 03.01.2015

Antworten
Hallo
Überleg dir mal, wie wahrscheinlich der folgende Fall ist:
x=3
und
y=3

:-)
tommy40629

tommy40629 aktiv_icon

12:39 Uhr, 03.01.2015

Antworten
Ich kann die Frage, wie wahrscheinlich es ist, dass x=3=y gilt nicht beantworten,

weil ich den Zusammenhang nicht kenne.

Wenn x und y Lösungen eines LGS sind, dann ist das möglich.

Auch so kann x und y die 3 annehmen.

Eigentlich kann x und y jeden beliebigen Wert annehmen.


Aber der Eintrag x3, aus dem Tupel, der wird ja einmal durch X und einmal durch Y, beides

Zufallsvariablen belegt.

Wenn X den Eintrag mit Wappen belegt, dann muss Y den Eintrag auch mit Wappen belegen.

Weil je nach dem, wie man es sieht ist Y abhängig von X oder X abhängig von Y.


Das ist doch das Gleiche, wenn man sagt 5=10 das ist falsch.

Genau so, wenn P(X = genau einmal Wappen) und P(Y = genau ein mal Zahl)

Dann gehört die Möglichkeit ZZW für X und ZWW für Y NICHT zu den Möglichkeiten.

Weil wir diese Belegung für die Einträge des 5-er Tupels haben:

x1=Zahl
x2=Zahl
x3=Wappen
sowie x3=Zahl
x4=Wappen
x5=Wappen

x3 ist hier mit Wappen sowie mit Zahl belegt. x3=Wappen x3=Zahl => Wappen = Zahl
das ist falsch.

Und alle diese falschen Möglichkeiten wollte ich gerne irgendwie ausrechnen.

Aufschreiben kann ich alle falschen Möglichkeiten, ich kann ihre Anzahl aber nicht berechnen.

Klar könnte ich von allen Möglichkeiten die richtigen ausrechnen und dann alle M-keiten minus richtige M-keiten = falsche M-keiten rechnen.

Ich weiß einfach nicht, wie ich ein mathematisches Konstrukt zusammenbauen soll, das schaut ob der
Eintrag x3 mit verschiedenen Werten (Wappen, Zahl) belegt wird.
Antwort
ledum

ledum aktiv_icon

12:57 Uhr, 04.01.2015

Antworten
hallo
wirf alle 3 Münzen auf einmal. w=0Z=1
dann hast du alle Möglichkeiten von 00000 bis 11111 also 32 verschiedne Anordnungen.
keine davon kann 3 mal die o vorne und 3 mal die 1 hinten haben. also ist x03 und y=3 unmglich
ebenso x=0 und y=0 da an Stelle 3 eine 0 oder eine 1 stehen muss.
usw.
du siehst dir anscheinend X und Y unabhängig voneinander an?
Gruß ledum
tommy40629

tommy40629 aktiv_icon

14:42 Uhr, 04.01.2015

Antworten

Also beim 5-fachen Münzwurf haben wir ja 2*2*2*2*2=32 5-er Tupel.

Wir haben 2 Zufallsvariablen:

X "Anzahl von Wappen bei den ersten 3 Würfen"

Hier könnte jetzt mein Fehler liegen: die 1-ten 3 Würfe entsprechen doch im 5-er Tupel den Einträgen 1 2 und 3. Ist das falsch??

Y "Anzahl von Zahl bei den letzten 3 Würfen"

Hier bin ich auch der Meinung, das die letzten 3 Würfe den Einträgen 3 4 und 5 im 5-er Tupel entsprechen.

Wenn diese 2 Gedanken falsch sind, dann wird natürlich alles falsch.

Aber ich wüßte nicht, wie man sonst die ersten 3 und die letzten 3 Würfe darstellen sollte.


X betrachtet die Einträge 1 2 3
Y betrachtet die Einträge------3 4 5

Ist es falsch nun zu sagen, dass die beiden ZV's X und Y den 3-ten Eintrag "gemeinsam" betrachten, bzw. belegen??
Antwort
anonymous

anonymous

16:19 Uhr, 04.01.2015

Antworten
"Ich kann die Frage, wie wahrscheinlich es ist, dass x=3=y gilt nicht beantworten, weil ich den Zusammenhang nicht kenne."
Junge, mach es dir nicht so schwer. Es ist eigentlich ganz einfach, du musst nur mal von den Formeln und Zahlen loslassen, und ganz praktisch denken.
Wenn man erst mal 3 mal Wappen geworfen hat, dann kann nicht mehr 3 mal Kopf auftreten. (Denn du hast ja nur 5 Würfe.)

Oder in anderen, in mathematischen Worten:
Die Wahrscheinlichkeit, dass x=y=3 ist, beträgt:
p=0

Du siehst, manchmal muss man einfach gerade denken, ohne viel x,y,Formel,Kombinatorik-Gelumpe...
Frage beantwortet
tommy40629

tommy40629 aktiv_icon

11:30 Uhr, 07.01.2015

Antworten
Ich habe heute noch mal jemanden in der Uni gefragt.

Er sagte mir, dass meine "Idee", dass der Eintrag x3 nicht gleichzeitig mit Wappen und Zahl belegt werden kann, ist richtig.

Daran erkennt man ja auch die Abhängigkeit.

Und weil wir in der Klausur nie ausrechnen müssen, wie viele unmögliche und wie viele möglichen Möglichkeiten es gibt, soll ich mir darüber keine Gedanken machen.

Man zeigt dann einfach, dass für P(X=0) und P(Y=0) die Wahrscheinlichkeit gleich Null ist und dadurch sieht man, dass auch bei 5000 Münzwürfen Abhängigkeit vorliegt.