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6^n -1 Vielfaches von 5

Universität / Fachhochschule

Teilbarkeit

Tags: Teilbarkeit

Hiho12345 aktiv_icon

10:19 Uhr, 14.11.2023

Guten Tag,
Ich soll durch mathematische Induktion zeigen, dass

6^{n} - 1

ein Vielfaches von 5 ist.
Ich weiß, dass das so ist aber wie beweise ich das mit der induktion.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

10:27 Uhr, 14.11.2023

Hallo,

weißt du denn grundsätzlich, wie man eine vollständige Induktion führt? So den Aufbau mit Induktionsanfang, Induktionsannahme, Induktionsschluss?

(Wenn nein, wäre das ein Einstiegspunkt, sich schlau zu machen.)

Wie ist bei euch

ℕ

definiert? Mit Null oder ohne?
Könntest du (wenigstens) den Induktionsanfang hier selbständig vorführen?

Mfg Michael

Respon

10:28 Uhr, 14.11.2023

Kurzfassung:
Sei die Behauptung für

n

schon bewiesen, also

6^{n} - 1 = 5 \cdot k

| \cdot 6

6^{n + 1} - 6 = 30 \cdot k

| + 5

6^{n + 1} - 1 = 30 \cdot k + 5 = 5 \cdot (6 \cdot k + 1) = 5 \cdot k_{2}

Hiho12345 aktiv_icon

10:31 Uhr, 14.11.2023

Okay aber was ist der induktionsaussage induktionsannajme, induktionsschritt und der Schluss? Das verstehe ich nicht. Hab es versucht

michaL aktiv_icon

10:39 Uhr, 14.11.2023

Hallo,

kurz:
Der Induktionsanfang prüft die Aussage für der erste mögliche

n

. (Daher meine Frage, ob bei euch

ℕ

die Zahl Null enthält, oder nicht.)

Bei Respon steht der Induktionsanfang nicht. Schaffst du den hier?

Mfg Michael

EDIT: Korrektur des letzten Satzes

Hiho12345 aktiv_icon

10:42 Uhr, 14.11.2023

Ja 0 ist eine natürliche Zahl. Wie sehen die Schritte denn dann so ca aus?

Respon

10:47 Uhr, 14.11.2023

Sorry für die "Kurzfassung".
Also fangen wir mit

n = 0

an.

6^{n} - 1

soll durch 5 teilbar sein.

6^{0} - 1 = 1 - 1 = 0 = 0 \cdot 5,

also durch 5 teilbar ( Die Null ist übrigens durch jede Zahl (außer der Null selbst) teilbar. )
Wie geht's jetzt weiter ?

Hiho12345 aktiv_icon

10:48 Uhr, 14.11.2023

Ich hätte gesagt es geht mit

6^{n + 1} - 1

weiter stimmt das?

Hiho12345 aktiv_icon

10:48 Uhr, 14.11.2023

Ich hätte gesagt es geht mit

6^{n + 1} - 1

oder

- 6

weiter stimmt das? Bei den

- 1

oder

- 6

bin ich mir nicht sicher

Respon

10:53 Uhr, 14.11.2023

Die entsprechende Zeile bei "Wiki".
Im Induktionsschritt wird für ein beliebiges

n

≥

n_{0} (n_{0}

ist hier

0)

die Gültigkeit der Aussage

A (n + 1)

aus der Gültigkeit von

A (n)

geschlussfolgert.
Wir nehmen also an, dass die Aussage für

n

schon bewiesen ist und schließen daraus auf

n + 1

Hiho12345 aktiv_icon

10:54 Uhr, 14.11.2023

Also wie in deiner Kurzfassung richtig?

Respon

11:04 Uhr, 14.11.2023

Ja, wobei das nur eine Möglichkeit ist.
Man kann von der "wahren" Behauptung

6^{n} - 1 = 5 \cdot k

ausgehen und sich dann "irgendwie" zu

6^{n + 1} - 1

vorarbeiten.
Man kann aber auch von

6^{n + 1} - 1

ausgehen.

6^{n + 1} - 1 = 6^{n} \cdot 6 - 1

Für

6^{n}

gilt ja unsere Annahme schon bewiesen, also

6^{n} - 1 = 5 \cdot k \Rightarrow 6^{n} = 5 \cdot k + 1

\Rightarrow

6^{n + 1} - 1 = 6^{n} \cdot 6 - 1 = 6 \cdot (5 \cdot k + 1) - 1 = 30 \cdot k + 6 - 1 = 30 \cdot k + 5 = 5 \cdot (6 \cdot k - 1) = 5 \cdot k_{2},

also durch 5 teilbar.

Respon

11:13 Uhr, 14.11.2023

Wenn es keine weiteren Fragen mehr gibt - abhaken !

michaL aktiv_icon

11:19 Uhr, 14.11.2023

Hallo,

nun, dafür sind doch Vorlesung und Übung da?! Besuchst du die nicht?

Alternativ kann man natürlich auch im Internet suchen:
de.wikipedia.org/wiki/Vollst%C3%A4ndige_Induktion#Beispiele

(1. Treffer bei einer bekannten Suchmaschine mit den Stichwörtern "vollständige" und "induktion".)

Mfg Michael

calc007

13:17 Uhr, 14.11.2023

Löblich und empfehlenswert, dies mit vollständiger Induktion zu lösen.

Zusätzlich darfst du mal den Lösungsweg bedenken:
Wer noch nicht ganz Taschenrechner-geschädigt ist und noch ein klein wenig Erinnerung an schriftliches Multiplizieren besitzt, weiß:
zum Multiplizieren einer Zahl

z

mit 6 beginnt man, die letzte Stelle dieser Zahl mit 6 zu multiplizieren.
Das ergibt

>

die letzte Stelle des Produkt-Wertes

>

und ggf. einen Übertrag.

z . B

6^{1} = 6

Wollten wir diese mit 6 multipliziern so

> 6 \cdot 6 = 36

>

also hat das Produkt wiederum die Endziffer 6

>

und den Übertrag 3.

Zusammenfassend:
Wenn wir mit 6 beginnen
und dies immer und immer wieder mit 6 multiplizieren
wie für

6^{n}

dann wird die Endziffer immer 6 lauten.

(6^{n} - 1)

wird also die Endziffer 5 haben.

Zahlen mit Endziffer 5 sind durch 5 teilbar.

michaL aktiv_icon

16:08 Uhr, 14.11.2023

Hallo,

man kann die vollständige Induktion auch verstecken, indem man im Hexalsystem argumentiert.
Die Hexaldarstellung von

6^{n} - 1

wäre doch gerade die Differenz der Hexalzahlen

10 \dots 0_{6}

(

n

Nullen, für

n \geq 1

) und

1_{6}

.
Das Ergebnis wäre

5 \dots 5_{6}

(

n - 1

Fünfen, für

n \geq 1

).

Das ist offenbar das gleiche wie

5_{6} \cdot 1 \dots 1_{6}

, also insbesondere durch 5 teilbar.

Mfg Michael

Mathe45

06:15 Uhr, 15.11.2023

Variante:

a^{n} - b^{n} = (a - b) \cdot \sum_{k = 0}^{n - 1} a^{n - 1 - k} \cdot b^{k}

6^{n} - 1 = 6^{n} - 1^{n} = (6 - 1) \cdot \sum_{k = 0}^{n - 1} 6^{n - 1 - k} \Rightarrow . .

Hiho12345 aktiv_icon

10:59 Uhr, 15.11.2023

Und wie geht es dann weiter?

Mathe45

11:04 Uhr, 15.11.2023

. .

= 5 \cdot m \Rightarrow

durch 5 teilbar

Hiho12345 aktiv_icon

11:06 Uhr, 15.11.2023

Aber was ist mit dem nach dem

\Rightarrow

kommt dahinter

5 m

Mathe45

11:09 Uhr, 15.11.2023

6^{n} - 1 = (6 - 1) \cdot \sum_{k = 0}^{n - 1} 6^{n - 1 - k}

6 - 1 = 5

\sum_{k = 0}^{n - 1} 6^{n - 1 - k}

ergibt eine ganze Zahl, nennen wir sie

m

\Rightarrow

6^{n} - 1 = 5 \cdot m

Mathe45

11:44 Uhr, 15.11.2023

. .

. und schon ist sie wieder weg !

Hiho12345 aktiv_icon

12:20 Uhr, 15.11.2023

Danke ich habe es verstanden

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